فيما سبق: - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي Vectors in the Coordinate Plane

درست العمليات على المتجهات باستعمال مقياس الرسم. (الدرس 1-5)

• أجري العمليات على المتجهات في المستوى الإحداثي، وأمثلها بيانياً. • أكتب المتجه باستعمال متجهي الوحدة.

الصورة الإحداثية component form متجه الوحدة unit vector متجها الوحدة القياسيان standard unit vectors توافق خطي linear combination

تؤثر الرياح في سرعة الطائرة واتجاه حركتها؛ لذا يستعمل قائد الطائرة مقاييس مدرجة؛ لتحديد السرعة والاتجاه الذي يجب على الطائرة السير فيه؛ لمعادلة أثر الرياح، وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستوى الإحداثي.

المتجهات في المستوى الإحداثي في الدرس 1-5، تعلمت إيجاد طول (مقدار) المحصلة واتجاهها لمتجهين أو أكثر هندسياً باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم، فإننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام الإحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دقة أكثر، أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيداً. ويمكن التعبير عن OP في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي كما في الشكل 5.2.1 بصورة وحيدة، وذلك بإحداثيي نقطة نهايته P(x, y). وهذه الصورة هي <x, y>، حيث إن x, y هما المركبتان المتعامدتان لـ OP؛ لذا تسمى <x, y> الصورة الإحداثية للمتجه.

وحيث إن المتجهات التي لها الطول والاتجاه نفسهما متكافئة، فإنه بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات بالإحداثيات نفسها، فمثلاً المتجهات p, t, v, w في الشكل 5.2.2 متكافئة، إذ يمكن التعبير عن أي منها بالصورة <3, 2>، ولإيجاد الصورة الإحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي، استعمل إحداثيي نقطتي بدايته ونهايته.

الصورة الإحداثية لـ AB الذي نقطة بدايته A(x1, y1)، ونقطة نهايته B(x2, y2) هي: <x2 - x1, y2 - y1>

أوجد الصورة الإحداثية لـ AB، الذي نقطة بدايته A(-4, 2)، ونقطة نهايته B(3, -5). AB = <x2 - x1, y2 - y1> الصورة الإحداثية = <3 - (-4), -5 - 2> (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (3, -5) = <7, -7> بسط

أوجد الصورة الإحداثية لـ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي:

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي Vectors in the Coordinate Plane --- SECTION: فيما سبق: --- درست العمليات على المتجهات باستعمال مقياس الرسم. (الدرس 1-5) --- SECTION: والآن: --- • أجري العمليات على المتجهات في المستوى الإحداثي، وأمثلها بيانياً. • أكتب المتجه باستعمال متجهي الوحدة. --- SECTION: المفردات: --- الصورة الإحداثية component form متجه الوحدة unit vector متجها الوحدة القياسيان standard unit vectors توافق خطي linear combination --- SECTION: لماذا؟ --- تؤثر الرياح في سرعة الطائرة واتجاه حركتها؛ لذا يستعمل قائد الطائرة مقاييس مدرجة؛ لتحديد السرعة والاتجاه الذي يجب على الطائرة السير فيه؛ لمعادلة أثر الرياح، وعادة ما يتم إجراء هذه الحسابات باستعمال المتجهات في المستوى الإحداثي. المتجهات في المستوى الإحداثي في الدرس 1-5، تعلمت إيجاد طول (مقدار) المحصلة واتجاهها لمتجهين أو أكثر هندسياً باستعمال مقياس رسم. وبسبب عدم دقة الرسم، فإننا نحتاج إلى طريقة جبرية باستعمال نظام الإحداثيات المتعامدة للمواقف التي تحتاج إلى دقة أكثر، أو التي تكون فيها المتجهات أكثر تعقيداً. ويمكن التعبير عن OP في الوضع القياسي في المستوى الإحداثي كما في الشكل 5.2.1 بصورة وحيدة، وذلك بإحداثيي نقطة نهايته P(x, y). وهذه الصورة هي <x, y>، حيث إن x, y هما المركبتان المتعامدتان لـ OP؛ لذا تسمى <x, y> الصورة الإحداثية للمتجه. وحيث إن المتجهات التي لها الطول والاتجاه نفسهما متكافئة، فإنه بإمكاننا التعبير عن كثير من المتجهات بالإحداثيات نفسها، فمثلاً المتجهات p, t, v, w في الشكل 5.2.2 متكافئة، إذ يمكن التعبير عن أي منها بالصورة <3, 2>، ولإيجاد الصورة الإحداثية لمتجه مرسوم في وضع غير قياسي، استعمل إحداثيي نقطتي بدايته ونهايته. --- SECTION: مفهوم أساسي: الصورة الإحداثية لمتجه --- الصورة الإحداثية لـ AB الذي نقطة بدايته A(x1, y1)، ونقطة نهايته B(x2, y2) هي: <x2 - x1, y2 - y1> --- SECTION: مثال 1: التعبير عن المتجه بالصورة الإحداثية --- أوجد الصورة الإحداثية لـ AB، الذي نقطة بدايته A(-4, 2)، ونقطة نهايته B(3, -5). AB = <x2 - x1, y2 - y1> الصورة الإحداثية = <3 - (-4), -5 - 2> (x1, y1) = (-4, 2), (x2, y2) = (3, -5) = <7, -7> بسط --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الصورة الإحداثية لـ AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: 1A. A(-2, -7), B(6, 1) 1B. A(0, 8), B(-9, -3) --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية تظهر طياراً داخل قمرة قيادة طائرة، ينظر إلى الأجهزة والنافذة الأمامية. **GRAPH**: Untitled Description: رسم بياني يوضح المتجه OP في الوضع القياسي. نقطة البداية هي نقطة الأصل O(0,0) ونقطة النهاية هي P(x, y). يظهر الرسم المركبة الأفقية x باللون الأحمر على محور x، والمركبة العمودية y باللون الأزرق موازية لمحور y. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: رسم بياني يوضح أربعة متجهات متكافئة (p, t, v, w) في مواقع مختلفة على الشبكة الإحداثية. جميعها لها نفس الطول والاتجاه، مما يعني أن لها نفس الصورة الإحداثية <3, 2>. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: رسم بياني يوضح المتجه AB في المستوى الإحداثي. نقطة البداية A(x1, y1) ونقطة النهاية B(x2, y2). يوضح الرسم المسافة الأفقية بين النقطتين كـ (x2 - x1) والمسافة العمودية كـ (y2 - y1). X-axis: x Y-axis: y