فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

8-4 المشتقات Derivatives

درست حساب ميل المماسات لإيجاد معدل التغير اللحظي. (الدرس 3-8)

• أجد ميل منحنى دالة غير خطية باستعمال المشتقات. • أستعمل قواعد الاشتقاق لإيجاد المشتقات.

المشتقة derivative الاشتقاق differentiation المعادلة التفاضلية differential equation المؤثر التفاضلي differential operator

ركل أحمد كرة رأسياً إلى أعلى من ارتفاع 3 ft، فانطلقت بسرعة 65 ft/s. يمكنك استعمال معادلات الحركة بتسارع ثابت، التي درستها في الفيزياء لكتابة دالة تصف ارتفاع الكرة بعد t ثانية، ومن ثم تحديد ما إذا كانت الكرة ستبلغ ارتفاع 68 ft أم لا.

استعملت النهايات في الدرس 3-8 لتحديد ميل مماس منحنى الدالة f(x) عند أي نقطة عليه، وتسمى هذه النهاية مشتقة الدالة ويرمز لها بالرمز f'(x)، وتعطى بالصيغة:

f'(x) = lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h

بشرط وجود هذه النهاية، وتسمى عملية إيجاد المشتقة الاشتقاق، وتسمى النتيجة معادلة تفاضلية.

أوجد مشتقة f(x) = 4x² - 5x + 8 باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عندما x = 1, 5. صيغة المشتقة: f'(x) = lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h f(x + h) = 4(x + h)² - 5(x + h) + 8 , f(x) = 4x² - 5x + 8 = lim_{h→0} [4(x + h)² - 5(x + h) + 8 - (4x² - 5x + 8)] / h بسط: = lim_{h→0} [8xh + 4h² - 5h] / h حلل: = lim_{h→0} [h(8x + 4h - 5)] / h اقسم على h: = lim_{h→0} (8x + 4h - 5) عوض: = [8x + 4(0) - 5] = 8x - 5 أي أن مشتقة f(x) هي f'(x) = 8x - 5. احسب f'(x) عندما x = 1, 5. المعادلة الأصلية: f'(x) = 8x - 5 x = 1, x = 5: f'(1) = 8(1) - 5, f'(5) = 8(5) - 5 بسط: f'(1) = 3, f'(5) = 35

المشتقات: يُقرأ الرمز f'(x) مشتقة f بالنسبة للمتغير x، أو f prime of x.

شرف الدين الطوسي: العالم المسلم شرف الدين الطوسي (المتوفى عام 610هـ) من خلال دراسته المعادلات التي درجتها 3 استعمل في حل هذه المعادلات، القيمة العظمى للعبارات الجبرية، وأخذ "المشتق الأول" لهذه العبارات من دون أن يستعمل اسمه (المشتق الأول)، وبرهن على أن جذر المعادلة التي يحصل عليها إذا ما عُوض به في العبارة الجبرية، أعطى القيمة العظمى للعبارة.

أوجد مشتقة f(x) باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عند قيم x المعطاة:

يُرمز لمشتقة y = f(x) أيضاً بالرموز dy/dx, df/dx, y'، وإذا سبق الدالة المؤثر التفاضلي d/dx، فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة الدالة.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

8-4 المشتقات Derivatives --- SECTION: فيما سبق --- درست حساب ميل المماسات لإيجاد معدل التغير اللحظي. (الدرس 3-8) --- SECTION: والآن --- • أجد ميل منحنى دالة غير خطية باستعمال المشتقات. • أستعمل قواعد الاشتقاق لإيجاد المشتقات. --- SECTION: المفردات --- المشتقة derivative الاشتقاق differentiation المعادلة التفاضلية differential equation المؤثر التفاضلي differential operator --- SECTION: لماذا؟ --- ركل أحمد كرة رأسياً إلى أعلى من ارتفاع 3 ft، فانطلقت بسرعة 65 ft/s. يمكنك استعمال معادلات الحركة بتسارع ثابت، التي درستها في الفيزياء لكتابة دالة تصف ارتفاع الكرة بعد t ثانية، ومن ثم تحديد ما إذا كانت الكرة ستبلغ ارتفاع 68 ft أم لا. --- SECTION: قواعد أساسية للاشتقاق --- استعملت النهايات في الدرس 3-8 لتحديد ميل مماس منحنى الدالة f(x) عند أي نقطة عليه، وتسمى هذه النهاية مشتقة الدالة ويرمز لها بالرمز f'(x)، وتعطى بالصيغة: f'(x) = lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h بشرط وجود هذه النهاية، وتسمى عملية إيجاد المشتقة الاشتقاق، وتسمى النتيجة معادلة تفاضلية. --- SECTION: مثال 1 مشتقة دالة عند أي نقطة --- أوجد مشتقة f(x) = 4x² - 5x + 8 باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عندما x = 1, 5. صيغة المشتقة: f'(x) = lim_{h→0} [f(x + h) - f(x)] / h f(x + h) = 4(x + h)² - 5(x + h) + 8 , f(x) = 4x² - 5x + 8 = lim_{h→0} [4(x + h)² - 5(x + h) + 8 - (4x² - 5x + 8)] / h بسط: = lim_{h→0} [8xh + 4h² - 5h] / h حلل: = lim_{h→0} [h(8x + 4h - 5)] / h اقسم على h: = lim_{h→0} (8x + 4h - 5) عوض: = [8x + 4(0) - 5] = 8x - 5 أي أن مشتقة f(x) هي f'(x) = 8x - 5. احسب f'(x) عندما x = 1, 5. المعادلة الأصلية: f'(x) = 8x - 5 x = 1, x = 5: f'(1) = 8(1) - 5, f'(5) = 8(5) - 5 بسط: f'(1) = 3, f'(5) = 35 --- SECTION: قراءة الرياضيات --- المشتقات: يُقرأ الرمز f'(x) مشتقة f بالنسبة للمتغير x، أو f prime of x. --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- شرف الدين الطوسي: العالم المسلم شرف الدين الطوسي (المتوفى عام 610هـ) من خلال دراسته المعادلات التي درجتها 3 استعمل في حل هذه المعادلات، القيمة العظمى للعبارات الجبرية، وأخذ "المشتق الأول" لهذه العبارات من دون أن يستعمل اسمه (المشتق الأول)، وبرهن على أن جذر المعادلة التي يحصل عليها إذا ما عُوض به في العبارة الجبرية، أعطى القيمة العظمى للعبارة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد مشتقة f(x) باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عند قيم x المعطاة: 1A. f(x) = 6x² + 7, x = 2, 5 1B. f(x) = -5x² + 2x - 12, x = 1, 4 يُرمز لمشتقة y = f(x) أيضاً بالرموز dy/dx, df/dx, y'، وإذا سبق الدالة المؤثر التفاضلي d/dx، فإن ذلك يعني إيجاد مشتقة الدالة. رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson access with the URL www.ien.edu.sa. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a young boy in a yellow shirt kicking a soccer ball into the air on a green field.