مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة القوة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

حتى هذه اللحظة استعملت النهاية؛ لإيجاد كل من المشتقة وميل المماس والسرعة المتجهة اللحظية. وتُعدُّ قاعدة مشتقة القوة من أكثر القواعد فعالية لإيجاد المشتقات من دون اللجوء إلى استعمال النهايات، مما يجعل عملية إيجاد المشتقات أكثر سهولة ودقة.

نوع: محتوى تعليمي

التعبير اللفظي: قوة x في المشتقة أقل بواحد من قوة x في الدالة الأصلية، ومعامل x في المشتقة يساوي قوة x في الدالة الأصلية.
الرموز: إذا كان f(x) = x^n ، حيث n عدد حقيقي، فإن: f'(x) = nx^{n-1} .

مثال 2: قاعدة مشتقة القوة

نوع: محتوى تعليمي

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

تنبيه!

نوع: محتوى تعليمي

مشتقات القوى السالبة: مشتقة f(x) = x^{-4} ليست f'(x) = -4x^{-3}. تذكر بأننا يجب أن نطرح واحدًا من الأس؛ لنحصل على: -4 - 1 = -4 + (-1) = -5 لذا فإن f'(x) = -4x^{-5} .

نوع: محتوى تعليمي

هناك العديد من قواعد الاشتقاق الأخرى المهمة التي تفيد في إيجاد مشتقات الدوال التي تحوي أكثر من حدٍّ.

مفهوم أساسي: قواعد أخرى للاشتقاق

نوع: محتوى تعليمي

مشتقة الثابت: مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا؛ أي أنه إذا كانت f(x) = c ، حيث c عدد ثابت، فإن f'(x) = 0 .
مشتقة مضاعفات القوة: إذا كانت f(x) = cx^n ، حيث c ثابت، و n عدد حقيقي، فإن: f'(x) = cnx^{n-1} .
مشتقة المجموع أو الفرق: إذا كانت: f(x) = g(x) ± h(x) ، فإن: f'(x) = g'(x) ± h'(x) .

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 | الدرس 4-8 المشتقات | 157

🔍 عناصر مرئية

إطار أزرق يحتوي على نص 'مفهوم أساسي' و 'قاعدة مشتقة القوة' مع التعبير اللفظي والرموز الرياضية للقاعدة.

صندوق جانبي بلون أحمر فاتح يحتوي على تنبيه حول الخطأ الشائع عند اشتقاق القوى السالبة.

إطار أزرق يحتوي على ثلاث قواعد إضافية للاشتقاق: الثابت، مضاعفات القوة، والمجموع والفرق.

📄 النص الكامل للصفحة

حتى هذه اللحظة استعملت النهاية؛ لإيجاد كل من المشتقة وميل المماس والسرعة المتجهة اللحظية. وتُعدُّ قاعدة مشتقة القوة من أكثر القواعد فعالية لإيجاد المشتقات من دون اللجوء إلى استعمال النهايات، مما يجعل عملية إيجاد المشتقات أكثر سهولة ودقة.

--- SECTION: مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة القوة ---
التعبير اللفظي: قوة x في المشتقة أقل بواحد من قوة x في الدالة الأصلية، ومعامل x في المشتقة يساوي قوة x في الدالة الأصلية.
الرموز: إذا كان f(x) = x^n ، حيث n عدد حقيقي، فإن: f'(x) = nx^{n-1} .

--- SECTION: مثال 2: قاعدة مشتقة القوة ---
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:
a. f(x) = x^9
b. g(x) = 5√x^7
c. h(x) = 1/x^8

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:
2A. j(x) = x^4
2B. k(x) = √x^3
2C. m(x) = 1/x^5

--- SECTION: تنبيه! ---
مشتقات القوى السالبة: مشتقة f(x) = x^{-4} ليست f'(x) = -4x^{-3}. تذكر بأننا يجب أن نطرح واحدًا من الأس؛ لنحصل على: -4 - 1 = -4 + (-1) = -5 لذا فإن f'(x) = -4x^{-5} .

هناك العديد من قواعد الاشتقاق الأخرى المهمة التي تفيد في إيجاد مشتقات الدوال التي تحوي أكثر من حدٍّ.

--- SECTION: مفهوم أساسي: قواعد أخرى للاشتقاق ---
مشتقة الثابت: مشتقة الدالة الثابتة تساوي صفرًا؛ أي أنه إذا كانت f(x) = c ، حيث c عدد ثابت، فإن f'(x) = 0 .
مشتقة مضاعفات القوة: إذا كانت f(x) = cx^n ، حيث c ثابت، و n عدد حقيقي، فإن: f'(x) = cnx^{n-1} .
مشتقة المجموع أو الفرق: إذا كانت: f(x) = g(x) ± h(x) ، فإن: f'(x) = g'(x) ± h'(x) .

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 | الدرس 4-8 المشتقات | 157

--- VISUAL CONTEXT ---
**FIGURE**: Untitled
Description: إطار أزرق يحتوي على نص 'مفهوم أساسي' و 'قاعدة مشتقة القوة' مع التعبير اللفظي والرموز الرياضية للقاعدة.
Context: يوضح القاعدة الأساسية لاشتقاق دوال القوة.

**FIGURE**: Untitled
Description: صندوق جانبي بلون أحمر فاتح يحتوي على تنبيه حول الخطأ الشائع عند اشتقاق القوى السالبة.
Context: تحذير تعليمي لمنع الأخطاء الحسابية في الأسس السالبة.

**FIGURE**: Untitled
Description: إطار أزرق يحتوي على ثلاث قواعد إضافية للاشتقاق: الثابت، مضاعفات القوة، والمجموع والفرق.
Context: توسيع مهارات الاشتقاق لتشمل أنواعًا أكثر تعقيدًا من الدوال.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال مثال 2: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a) f(x) = x^9 b) g(x) = \sqrt[5]{x^7} c) h(x) = \frac{1}{x^8}

الإجابة: a) f'(x) = 9x^{9-1} = 9x^8 b) g'(x) = \frac{7}{5}x^{\frac{7}{5}-1} = \frac{7}{5}x^{\frac{2}{5}} = \frac{7}{5}\sqrt[5]{x^2} c) h'(x) = -8x^{-8-1} = -8x^{-9} = -\frac{8}{x^9}

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (القانون):** لإيجاد مشتقة الدوال التي تكون على صورة قوة $x^n$، نستخدم قاعدة القوة الأساسية في التفاضل: $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$
**الخطوة 2 (حل الفقرة a):** لدينا الدالة $f(x) = x^9$. بتطبيق القاعدة، نضرب في الأس (9) ثم نطرح منه 1: $$f'(x) = 9x^{9-1} = 9x^8$$
**الخطوة 3 (حل الفقرة b):** لدينا الدالة $g(x) = \sqrt[5]{x^7}$. قبل الاشتقاق، نحول الصورة الجذرية إلى صورة أسية: $$g(x) = x^{\frac{7}{5}}$$ الآن نشتق: $$g'(x) = \frac{7}{5}x^{\frac{7}{5}-1} = \frac{7}{5}x^{\frac{2}{5}}$$ ويمكن إعادتها لصورة جذر: $\frac{7}{5}\sqrt[5]{x^2}$
**الخطوة 4 (حل الفقرة c):** لدينا الدالة $h(x) = \frac{1}{x^8}$. نرفع المتغير من المقام للبسط بتغيير إشارة الأس: $$h(x) = x^{-8}$$ الآن نشتق: $$h'(x) = -8x^{-8-1} = -8x^{-9}$$ وبإعادتها للمقام لتصبح القوة موجبة: **$-\frac{8}{x^9}$**

سؤال تحقق من فهمك: أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 2A) j(x) = x^4 2B) k(x) = \sqrt[5]{x^3} 2C) m(x) = \frac{1}{x^5}

الإجابة: 2A) j'(x) = 4x^3 2B) k'(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}} = \frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}} 2C) m'(x) = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات والقاعدة):** المطلوب هو إيجاد المشتقة للدوال المعطاة باستخدام قاعدة القوة: $$\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$$
**الخطوة 2 (حل 2A):** للدالة $j(x) = x^4$: نضرب في الأس (4) ونطرح منه 1: $$j'(x) = 4x^{4-1} = 4x^3$$
**الخطوة 3 (حل 2B):** للدالة $k(x) = \sqrt[5]{x^3}$: نحولها أولاً لصورة أسية: $k(x) = x^{\frac{3}{5}}$. نشتق: $k'(x) = \frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1} = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$. لتبسيط الناتج، ننزل $x$ للمقام لتصبح القوة موجبة: **$\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$**
**الخطوة 4 (حل 2C):** للدالة $m(x) = \frac{1}{x^5}$: نحولها لصورة أسية: $m(x) = x^{-5}$. نشتق: $m'(x) = -5x^{-5-1} = -5x^{-6}$. نعيدها للمقام لتصبح: **$-\frac{5}{x^6}$**