مفهوم أساسي نظرية القيمة القصوى - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

النقطة التي تكون عندها مشتقة الدالة صفراً أو غير موجودة تُسمى نقطة حرجة للدالة، والنقطة الحرجة قد تشير إلى وجود نقطة قيمة عظمى أو صغرى للدالة، وتحدث عندما يكون ميل مماس منحنى الدالة صفراً أو غير موجود.

إذا كانت f(x) متصلة على الفترة المغلقة [a, b]، فإن لها قيمة عظمى وصغرى على الفترة [a, b]، وذلك إما عند أحد طرفي الفترة أو عند إحدى النقاط الحرجة.

لتعيين نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة على فترة مغلقة، لا بد من حساب قيم الدالة عند أطراف الفترة، وعند النقاط الحرجة في تلك الفترة.

أفعوانية: الدالة: h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 تمثل ارتفاع إبراهيم بالأقدام في أثناء ركوبه أفعوانية، حيث t الزمن بالثواني في الفترة الزمنية [1, 12]، أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه إبراهيم. أوجد مشتقة h(t). h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 الدالة المعطاة h'(t) = -1/3 * 3t³⁻¹ + 4 * 2t²⁻¹ + 0 قواعد اشتقاق الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع، والفرق = -t² + 8t بسط أوجد النقاط الحرجة بحل المعادلة h'(t) = 0. h'(t) = 0 اكتب المعادلة -t² + 8t = 0 h'(t) = -t² + 8t -t(t - 8) = 0 حلل إذن: t = 8 أو t = 0، وحيث إن t = 0 لا تقع في الفترة [1, 12]، فإن للدالة نقطة حرجة واحدة عند t = 8؛ لذا نحسب قيم h(t) عندما t = 1, 8, 12. h(1) = -1/3(1)³ + 4(1)² + 11/3 ≈ 7.33 h(8) = -1/3(8)³ + 4(8)² + 11/3 = 89 قيمة عظمى h(12) = -1/3(12)³ + 4(12)² + 11/3 ≈ 3.67 قيمة صغرى أي أن أقصى ارتفاع يبلغه إبراهيم هو 89 ft، وذلك بعد 8 s، في حين أن أدنى ارتفاع هو 3.67 ft تقريباً بعد 12 s. التحقق من الحل التمثيل البياني للدالة: h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 المجاور على الفترة [1, 12] باستعمال الآلة البيانية يعزز هذه النتيجة، حيث يبين التمثيل البياني أن أعلى ارتفاع يساوي 89 ft، ويكون عندما t = 8 s، وأدنى ارتفاع يساوي 3.67، ويكون عندما t = 12 s.

ازدادت سرعة الأفعوانيات حديثاً لتصل إلى 120 mi/h، وكذلك ازدادت ارتفاعاتها لتبلغ 450 ft.

دالة كثيرة الحدود: مجال تعريف دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية لذلك إذا كانت المشتقة دالة كثيرة حدود، فإن النقاط الحرجة توجد فقط عندما تكون المشتقة صفراً. ولذلك عند إيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة كثيرة حدود f(x) على فترة [a, b]، نجد قيم الدالة عند طرفي الفترة وعند أي قيمة لـ x تكون عندها f'(x) = 0.

تحقق من فهمك

5) رياضة القفز: الدالة: h(t) = 20t² - 160t + 330 تمثل ارتفاع سعد بالأقدام في أثناء مشاركته في قفزة البنجي (القفز من أماكن مرتفعة، بحيث تكون القدمان موثقتين بحبل مطاطي)، حيث t الزمن بالثواني في الفترة [0, 6]. أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه سعد في هذه الفترة الزمنية.

النقطة التي تكون عندها مشتقة الدالة صفراً أو غير موجودة تُسمى نقطة حرجة للدالة، والنقطة الحرجة قد تشير إلى وجود نقطة قيمة عظمى أو صغرى للدالة، وتحدث عندما يكون ميل مماس منحنى الدالة صفراً أو غير موجود. --- SECTION: مفهوم أساسي نظرية القيمة القصوى --- إذا كانت f(x) متصلة على الفترة المغلقة [a, b]، فإن لها قيمة عظمى وصغرى على الفترة [a, b]، وذلك إما عند أحد طرفي الفترة أو عند إحدى النقاط الحرجة. لتعيين نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة على فترة مغلقة، لا بد من حساب قيم الدالة عند أطراف الفترة، وعند النقاط الحرجة في تلك الفترة. --- SECTION: مثال 5 من واقع الحياة القيمتان العظمى والصغرى لدالة --- أفعوانية: الدالة: h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 تمثل ارتفاع إبراهيم بالأقدام في أثناء ركوبه أفعوانية، حيث t الزمن بالثواني في الفترة الزمنية [1, 12]، أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه إبراهيم. أوجد مشتقة h(t). h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 الدالة المعطاة h'(t) = -1/3 * 3t³⁻¹ + 4 * 2t²⁻¹ + 0 قواعد اشتقاق الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع، والفرق = -t² + 8t بسط أوجد النقاط الحرجة بحل المعادلة h'(t) = 0. h'(t) = 0 اكتب المعادلة -t² + 8t = 0 h'(t) = -t² + 8t -t(t - 8) = 0 حلل إذن: t = 8 أو t = 0، وحيث إن t = 0 لا تقع في الفترة [1, 12]، فإن للدالة نقطة حرجة واحدة عند t = 8؛ لذا نحسب قيم h(t) عندما t = 1, 8, 12. h(1) = -1/3(1)³ + 4(1)² + 11/3 ≈ 7.33 h(8) = -1/3(8)³ + 4(8)² + 11/3 = 89 قيمة عظمى h(12) = -1/3(12)³ + 4(12)² + 11/3 ≈ 3.67 قيمة صغرى أي أن أقصى ارتفاع يبلغه إبراهيم هو 89 ft، وذلك بعد 8 s، في حين أن أدنى ارتفاع هو 3.67 ft تقريباً بعد 12 s. التحقق من الحل التمثيل البياني للدالة: h(t) = -1/3 t³ + 4t² + 11/3 المجاور على الفترة [1, 12] باستعمال الآلة البيانية يعزز هذه النتيجة، حيث يبين التمثيل البياني أن أعلى ارتفاع يساوي 89 ft، ويكون عندما t = 8 s، وأدنى ارتفاع يساوي 3.67، ويكون عندما t = 12 s. --- SECTION: الربط مع الحياة --- ازدادت سرعة الأفعوانيات حديثاً لتصل إلى 120 mi/h، وكذلك ازدادت ارتفاعاتها لتبلغ 450 ft. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- دالة كثيرة الحدود: مجال تعريف دالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية لذلك إذا كانت المشتقة دالة كثيرة حدود، فإن النقاط الحرجة توجد فقط عندما تكون المشتقة صفراً. ولذلك عند إيجاد القيم العظمى والصغرى لدالة كثيرة حدود f(x) على فترة [a, b]، نجد قيم الدالة عند طرفي الفترة وعند أي قيمة لـ x تكون عندها f'(x) = 0. تحقق من فهمك --- SECTION: 5 --- 5) رياضة القفز: الدالة: h(t) = 20t² - 160t + 330 تمثل ارتفاع سعد بالأقدام في أثناء مشاركته في قفزة البنجي (القفز من أماكن مرتفعة، بحيث تكون القدمان موثقتين بحبل مطاطي)، حيث t الزمن بالثواني في الفترة [0, 6]. أوجد أقصى وأدنى ارتفاع يبلغه سعد في هذه الفترة الزمنية. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Conceptual graph showing a function f(x) on a closed interval [a, b]. The curve has a local maximum (peak) labeled 'عظمى' at a point where the tangent is horizontal (f'(x)=0). It has a local minimum (trough) labeled 'صغرى' at the right endpoint b. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Conceptual graph showing a function f(x) on a closed interval [a, b] with a sharp cusp. The cusp is labeled 'صغرى' (minimum). Below the graph, text indicates that the limit of the derivative at this point does not exist. X-axis: x Y-axis: y **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a blue roller coaster track with a red train ascending a steep hill against a clear sky. **GRAPH**: Untitled Description: Graph of the height function for the roller coaster example on the interval [1, 12]. X-axis: t Y-axis: h