إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 3 قواعد الاشتقاق

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a) f(x) = 5x³ + 4 f(x) = 5x³ + 4 ... الدالة المعطاة f'(x) = 5 · 3x³⁻¹ + 0 ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع = 15x² ... بسّط b) g(x) = x⁵(2x³ + 4) g(x) = x⁵(2x³ + 4) ... الدالة المعطاة g(x) = 2x⁸ + 4x⁵ ... خاصية التوزيع g'(x) = 2 · 8x⁸⁻¹ + 4 · 5x⁵⁻¹ ... قاعدتا مشتقي مضاعفات القوى، والمجموع = 16x⁷ + 20x⁴ ... بسّط c) h(x) = (5x³ - 12x + 6√x⁵) / x h(x) = (5x³ - 12x + 6√x⁵) / x ... الدالة المعطاة h(x) = (5x³/x) - (12x/x) + (6√x⁵/x) ... اقسم كل حد في البسط على x h(x) = 5x² - 12 + 6x³/² ... x⁵/² · x⁻¹ = x³/² h'(x) = 5 · 2x²⁻¹ - 0 + 6 · (3/2)x³/²⁻¹ ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع والفرق = 10x + 9x¹/² = 10x + 9√x ... بسّط

المشتقات إذا كانت f(x) = x، فإن f'(x) = 1، وإذا كانت f(x) = cx، فإن f'(x) = c.

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

الآن، وبعد أن درست القواعد الأساسية للاشتقاق، يمكنك حل المسائل التي تتطلب حساب ميل مماس المنحنى، أو إيجاد السرعة المتجهة اللحظية بخطوات أقل، ففي مثال 5 من الدرس 3-4، أوجدنا معادلة السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك، وستلاحظ الآن سهولة حل المسألة نفسها بتطبيق قواعد الاشتقاق.

للتسهيل يمكنك إيجاد كل من ميل المماس لمنحنى الدالة، والسرعة المتجهة اللحظية، ومشتقة الدالة، باستخدام القواعد ما لم يُطلب منك استخدام النهايات لإيجاد أي منها.

مثال 4 السرعة المتجهة اللحظية

تُعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد t ثانية بالدالة: s(t) = 18t - 3t³ - 1، أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم. السرعة المتجهة اللحظية للجسم هي s'(t). s(t) = 18t - 3t³ - 1 ... الدالة المعطاة s'(t) = 18 · 1t¹⁻¹ - 3 · 3t³⁻¹ - 0 ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والفرق = 18 - 9t² ... بسّط أي أن سرعة الجسم المتجهة اللحظية هي: v(t) = 18 - 9t²، لاحظ أن هذه الإجابة مكافئة لتلك التي حصلت عليها في المثال 5 من الدرس 3-4.

4) الدالة: h(t) = 55t - 16t² تمثل الارتفاع بالأقدام بعد t ثانية لكرة قُذفت رأسيًا إلى أعلى. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للكرة عند أي زمن.

158 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

مثال 3 قواعد الاشتقاق أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a) f(x) = 5x³ + 4 f(x) = 5x³ + 4 ... الدالة المعطاة f'(x) = 5 · 3x³⁻¹ + 0 ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع = 15x² ... بسّط b) g(x) = x⁵(2x³ + 4) g(x) = x⁵(2x³ + 4) ... الدالة المعطاة g(x) = 2x⁸ + 4x⁵ ... خاصية التوزيع g'(x) = 2 · 8x⁸⁻¹ + 4 · 5x⁵⁻¹ ... قاعدتا مشتقي مضاعفات القوى، والمجموع = 16x⁷ + 20x⁴ ... بسّط c) h(x) = (5x³ - 12x + 6√x⁵) / x h(x) = (5x³ - 12x + 6√x⁵) / x ... الدالة المعطاة h(x) = (5x³/x) - (12x/x) + (6√x⁵/x) ... اقسم كل حد في البسط على x h(x) = 5x² - 12 + 6x³/² ... x⁵/² · x⁻¹ = x³/² h'(x) = 5 · 2x²⁻¹ - 0 + 6 · (3/2)x³/²⁻¹ ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والمجموع والفرق = 10x + 9x¹/² = 10x + 9√x ... بسّط --- SECTION: إرشادات للدراسة --- المشتقات إذا كانت f(x) = x، فإن f'(x) = 1، وإذا كانت f(x) = cx، فإن f'(x) = c. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 3A. f(x) = 2x⁵ - x³ - 102 3B. g(x) = 3x⁴(x + 2) 3C. h(x) = (4x⁴ - 3x² + 5x) / x الآن، وبعد أن درست القواعد الأساسية للاشتقاق، يمكنك حل المسائل التي تتطلب حساب ميل مماس المنحنى، أو إيجاد السرعة المتجهة اللحظية بخطوات أقل، ففي مثال 5 من الدرس 3-4، أوجدنا معادلة السرعة المتجهة اللحظية لجسم متحرك، وستلاحظ الآن سهولة حل المسألة نفسها بتطبيق قواعد الاشتقاق. --- SECTION: تنبيه! --- للتسهيل يمكنك إيجاد كل من ميل المماس لمنحنى الدالة، والسرعة المتجهة اللحظية، ومشتقة الدالة، باستخدام القواعد ما لم يُطلب منك استخدام النهايات لإيجاد أي منها. مثال 4 السرعة المتجهة اللحظية تُعطى المسافة التي يقطعها جسم بالسنتيمترات بعد t ثانية بالدالة: s(t) = 18t - 3t³ - 1، أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية v(t) للجسم. السرعة المتجهة اللحظية للجسم هي s'(t). s(t) = 18t - 3t³ - 1 ... الدالة المعطاة s'(t) = 18 · 1t¹⁻¹ - 3 · 3t³⁻¹ - 0 ... قواعد مشتقات الثابت، ومضاعفات القوى، والفرق = 18 - 9t² ... بسّط أي أن سرعة الجسم المتجهة اللحظية هي: v(t) = 18 - 9t²، لاحظ أن هذه الإجابة مكافئة لتلك التي حصلت عليها في المثال 5 من الدرس 3-4. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 4) الدالة: h(t) = 55t - 16t² تمثل الارتفاع بالأقدام بعد t ثانية لكرة قُذفت رأسيًا إلى أعلى. أوجد معادلة السرعة المتجهة اللحظية للكرة عند أي زمن. 158 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447