مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة الضرب - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

قاعدتا مشتقتي الضرب والقسمة

تعلمت في هذا الدرس أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتي الدالتين، فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساوية لناتج ضرب مشتقتي الدالتين؟ افترض أن: f(x) = x, g(x) = 3x^3

مشتقة الضرب d/dx [f(x) · g(x)] = d/dx [x · 3x^3] = d/dx (3x^4) = 12x^3 ضرب المشتقات d/dx f(x) · d/dx g(x) = d/dx (x) · d/dx (3x^3) = 1 · 9x^2 = 9x^2

يتضح من هذا المثال أن مشتقة ناتج ضرب دالتين لا تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتقتي الدالتين، ويمكننا استعمال القاعدة الآتية لإيجاد مشتقة ناتج ضرب دالتين.

إذا كانت مشتقة كل من الدالتين f و g موجودة عند x ، فإن: d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ستبرهن قاعدة مشتقة الضرب في التمرين 48

قاعدة مشتقة الضرب أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a) h(x) = (x^3 - 2x + 7)(3x^2 - 5) افترض أن: f(x) = x^3 - 2x + 7, g(x) = 3x^2 - 5 ، أي أن: h(x) = f(x)g(x) . f(x) = x^3 - 2x + 7 (من الفرض) f'(x) = 3x^2 - 2 (قواعد مشتقات القوة، ومضاعفات القوى، والثابت، والمجموع والفرق) g(x) = 3x^2 - 5 (من الفرض) g'(x) = 6x (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x) . h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (قاعدة مشتقة الضرب) = (3x^2 - 2)(3x^2 - 5) + (x^3 - 2x + 7)(6x) (عوض) = 9x^4 - 15x^2 - 6x^2 + 10 + 6x^4 - 12x^2 + 42x (خاصية التوزيع) = 15x^4 - 33x^2 + 42x + 10 (بسط) b) h(x) = (x^3 - 4x^2 + 48x - 64)(6x^2 - x - 2) افترض أن: f(x) = x^3 - 4x^2 + 48x - 64, g(x) = 6x^2 - x - 2 . f(x) = x^3 - 4x^2 + 48x - 64 (من الفرض) f'(x) = 3x^2 - 8x + 48 (قواعد مشتقات القوة، ومضاعفات القوى، والثابت، والمجموع والفرق) g(x) = 6x^2 - x - 2 (من الفرض) g'(x) = 12x - 1 (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x) . h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (قاعدة مشتقة الضرب) = (3x^2 - 8x + 48)(6x^2 - x - 2) + (x^3 - 4x^2 + 48x - 64)(12x - 1) (عوض)

قاعدة مشتقة الضرب: ينتج عن قاعدة مشتقة الضرب مقدار يمكن تبسيطه. ويمكنك أيضاً تركه على حاله من دون تبسيط، ما لم تكن في حاجة إلى تبسيطه.

تحقق من فهمك أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

6A) h(x) = (x^5 + 13x^2)(7x^3 - 5x^2 + 18)

6B) h(x) = (x^2 + x^3 + x)(8x^2 + 3)

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

160 الفصل 8 النهايات والاشتقاق

قاعدتا مشتقتي الضرب والقسمة تعلمت في هذا الدرس أن مشتقة مجموع دالتين تساوي مجموع مشتقتي الدالتين، فهل تكون مشتقة ناتج ضرب دالتين مساوية لناتج ضرب مشتقتي الدالتين؟ افترض أن: f(x) = x, g(x) = 3x^3 مشتقة الضرب d/dx [f(x) · g(x)] = d/dx [x · 3x^3] = d/dx (3x^4) = 12x^3 ضرب المشتقات d/dx f(x) · d/dx g(x) = d/dx (x) · d/dx (3x^3) = 1 · 9x^2 = 9x^2 يتضح من هذا المثال أن مشتقة ناتج ضرب دالتين لا تساوي بالضرورة ناتج ضرب مشتقتي الدالتين، ويمكننا استعمال القاعدة الآتية لإيجاد مشتقة ناتج ضرب دالتين. --- SECTION: مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة الضرب --- إذا كانت مشتقة كل من الدالتين f و g موجودة عند x ، فإن: d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) ستبرهن قاعدة مشتقة الضرب في التمرين 48 --- SECTION: مثال 6 --- قاعدة مشتقة الضرب أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a) h(x) = (x^3 - 2x + 7)(3x^2 - 5) افترض أن: f(x) = x^3 - 2x + 7, g(x) = 3x^2 - 5 ، أي أن: h(x) = f(x)g(x) . f(x) = x^3 - 2x + 7 (من الفرض) f'(x) = 3x^2 - 2 (قواعد مشتقات القوة، ومضاعفات القوى، والثابت، والمجموع والفرق) g(x) = 3x^2 - 5 (من الفرض) g'(x) = 6x (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x) . h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (قاعدة مشتقة الضرب) = (3x^2 - 2)(3x^2 - 5) + (x^3 - 2x + 7)(6x) (عوض) = 9x^4 - 15x^2 - 6x^2 + 10 + 6x^4 - 12x^2 + 42x (خاصية التوزيع) = 15x^4 - 33x^2 + 42x + 10 (بسط) b) h(x) = (x^3 - 4x^2 + 48x - 64)(6x^2 - x - 2) افترض أن: f(x) = x^3 - 4x^2 + 48x - 64, g(x) = 6x^2 - x - 2 . f(x) = x^3 - 4x^2 + 48x - 64 (من الفرض) f'(x) = 3x^2 - 8x + 48 (قواعد مشتقات القوة، ومضاعفات القوى، والثابت، والمجموع والفرق) g(x) = 6x^2 - x - 2 (من الفرض) g'(x) = 12x - 1 (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x) . h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) (قاعدة مشتقة الضرب) = (3x^2 - 8x + 48)(6x^2 - x - 2) + (x^3 - 4x^2 + 48x - 64)(12x - 1) (عوض) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- قاعدة مشتقة الضرب: ينتج عن قاعدة مشتقة الضرب مقدار يمكن تبسيطه. ويمكنك أيضاً تركه على حاله من دون تبسيط، ما لم تكن في حاجة إلى تبسيطه. تحقق من فهمك أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: --- SECTION: 6A --- 6A) h(x) = (x^5 + 13x^2)(7x^3 - 5x^2 + 18) --- SECTION: 6B --- 6B) h(x) = (x^2 + x^3 + x)(8x^2 + 3) وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 160 الفصل 8 النهايات والاشتقاق --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة الضرب Description: A blue-bordered box containing the formal mathematical definition of the product rule for derivatives. Context: Provides the core mathematical rule being taught on this page for calculating the derivative of a product of two functions.