مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة القسمة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

بطريقة التبرير نفسها في مشتقة الضرب، يمكنك ملاحظة أن مشتقة ناتج قسمة دالتين لا تساوي ناتج قسمة مشتقي الدالتين، ويمكن استعمال القاعدة الآتية لحساب مشتقة قسمة دالتين.

إذا كانت مشتقة كل من الدالتين f, g موجودة عند x، وكان g(x) ≠ 0، فإن: [d/dx] [f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 ستبرهن قاعدة مشتقة القسمة في التمرين 50

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

h(x) = (5x^2 - 3) / (x^2 - 6) افترض أن: f(x) = 5x^2 - 3, g(x) = x^2 - 6؛ أي أن: h(x) = f(x)/g(x). f(x) = 5x^2 - 3 (من الفرض) f'(x) = 10x (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) g(x) = x^2 - 6 (من الفرض) g'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x). h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) = [10x(x^2 - 6) - (5x^2 - 3)(2x)] / (x^2 - 6)^2 (عوض) = [10x^3 - 60x - 10x^3 + 6x] / (x^2 - 6)^2 (خاصية التوزيع) = -54x / (x^2 - 6)^2 (بسط)

h(x) = (x^2 + 8) / (x^3 - 2) افترض أن: f(x) = x^2 + 8, g(x) = x^3 - 2. f(x) = x^2 + 8 (من الفرض) f'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والمجموع) g(x) = x^3 - 2 (من الفرض) g'(x) = 3x^2 (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x). h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) = [2x(x^3 - 2) - (x^2 + 8)3x^2] / (x^3 - 2)^2 (عوض) = [2x^4 - 4x - 3x^4 - 24x^2] / (x^3 - 2)^2 (فك الأقواس، ثم بسط) = [-x^4 - 24x^2 - 4x] / (x^3 - 2)^2

قاعدة مشتقة القسمة: يُعدّ تبسيط ناتج مشتقة القسمة مهمًا في كثير من التمارين، إلا أنه ليس من الضروري فك أقواس المقام، ما لم ينتج عن ذلك تبسيط أكثر.

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

الدرس 4-8 المشتقات 161

بطريقة التبرير نفسها في مشتقة الضرب، يمكنك ملاحظة أن مشتقة ناتج قسمة دالتين لا تساوي ناتج قسمة مشتقي الدالتين، ويمكن استعمال القاعدة الآتية لحساب مشتقة قسمة دالتين. --- SECTION: مفهوم أساسي: قاعدة مشتقة القسمة --- إذا كانت مشتقة كل من الدالتين f, g موجودة عند x، وكان g(x) ≠ 0، فإن: [d/dx] [f(x)/g(x)] = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 ستبرهن قاعدة مشتقة القسمة في التمرين 50 --- SECTION: مثال 7: قاعدة مشتقة القسمة --- أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: a. h(x) = (5x^2 - 3) / (x^2 - 6) b. h(x) = (x^2 + 8) / (x^3 - 2) --- SECTION: حل مثال 7 (a) --- h(x) = (5x^2 - 3) / (x^2 - 6) افترض أن: f(x) = 5x^2 - 3, g(x) = x^2 - 6؛ أي أن: h(x) = f(x)/g(x). f(x) = 5x^2 - 3 (من الفرض) f'(x) = 10x (قواعد مشتقات مضاعفات القوى، والثابت، والفرق) g(x) = x^2 - 6 (من الفرض) g'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x). h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) = [10x(x^2 - 6) - (5x^2 - 3)(2x)] / (x^2 - 6)^2 (عوض) = [10x^3 - 60x - 10x^3 + 6x] / (x^2 - 6)^2 (خاصية التوزيع) = -54x / (x^2 - 6)^2 (بسط) --- SECTION: حل مثال 7 (b) --- h(x) = (x^2 + 8) / (x^3 - 2) افترض أن: f(x) = x^2 + 8, g(x) = x^3 - 2. f(x) = x^2 + 8 (من الفرض) f'(x) = 2x (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والمجموع) g(x) = x^3 - 2 (من الفرض) g'(x) = 3x^2 (قواعد مشتقات القوة، والثابت، والفرق) استعمل f(x), f'(x), g(x), g'(x) لإيجاد مشتقة h(x). h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 (قاعدة مشتقة القسمة) = [2x(x^3 - 2) - (x^2 + 8)3x^2] / (x^3 - 2)^2 (عوض) = [2x^4 - 4x - 3x^4 - 24x^2] / (x^3 - 2)^2 (فك الأقواس، ثم بسط) = [-x^4 - 24x^2 - 4x] / (x^3 - 2)^2 --- SECTION: إرشادات للدراسة --- قاعدة مشتقة القسمة: يُعدّ تبسيط ناتج مشتقة القسمة مهمًا في كثير من التمارين، إلا أنه ليس من الضروري فك أقواس المقام، ما لم ينتج عن ذلك تبسيط أكثر. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: 7A. j(x) = (7x - 10) / (12x + 5) 7B. k(x) = 6x / (2x^2 + 4) الدرس 4-8 المشتقات 161 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: A blue-bordered box containing the formal mathematical definition of the Quotient Rule for derivatives. Context: Provides the core formula needed to solve the examples and exercises on the page. **SIDEBAR**: Untitled Description: A light blue sidebar box containing study tips regarding the simplification of algebraic expressions resulting from the quotient rule. Context: Advises students on best practices for simplifying derivatives, specifically regarding the denominator.