صفحة 162 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة: (مثال 1)

1) f(x) = 4x^2 - 3, x = 2, -1

2) g(t) = -t^2 + 2t + 11, t = 5, 3

3) m(j) = 14j - 13, j = -7, -4

4) v(n) = 5n^2 + 9n - 17, n = 7, 2

5) r(b) = 2b^3 - 10b, b = -4, -3

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (المثالان 2, 3)

6) y(f) = -11f

7) z(n) = 2n^2 + 7n

8) g(h) = 2h^(1/2) + 6h^(1/3) - 2h^(3/2)

9) b(m) = 3m^(2/3) - 2m^(3/2)

10) n(t) = 1/t + 3/t^2 + 2/t^3 + 4

11) f(x) = 3x^(1/2) - x^(3/2) + 2x^(-1/2)

12) p(k) = k^5.2 - 8k^4.8 + 3k

13) q(c) = c^9 - 3c^5 + 5c^2 - 3c

درجات حرارة: تُعطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في أحد الأيام بالدالة: f(h) = -0.0036h^3 - 0.01h^2 + 2.04h + 52 حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم. (مثال 4)

استعمل الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة، ثم أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة: (مثال 5)

15) f(x) = 2x^2 + 8x, [-5, 0]

16) r(t) = t^4 + 6t^2 - 2, [1, 4]

17) t(u) = u^3 + 15u^2 + 75u + 115, [-6, -3]

18) f(x) = -5x^2 - 90x, [-11, -8]

19) z(k) = k^3 - 3k^2 + 3k, [0, 3]

20) c(n) = 1/3n^3 + 1/2n^2 - 6n + 8, [-5, 5]

رياضة: عُد إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس. الدالة: h(t) = 65t - 16t^2 + 3 تمثل ارتفاع الكرة بالأقدام بعد t ثانية، عندما 0 ≤ t ≤ 4. (مثال 5)

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (مثال 6)

22) f(x) = (4x + 3)(x^2 + 9)

23) g(x) = (3x^4 + 2x)(5 - 3x)

24) s(t) = (√t + 2)(3t^11 - 4t)

25) g(x) = (x^(3/2) + 2x)(0.5x^4 - 3x)

26) c(t) = (t^3 + 2t - t^7)(t^6 + 3t^4 - 22t)

27) q(a) = (a^(9/8) + a^(-1/4))(a^(5/4) - 13a)

28) f(x) = (1.4x^5 + 2.7x)(7.3x^9 - 0.8x^5)

استعمل قاعدة مشتقة القسمة لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: (مثال 7)

29) f(m) = (3 - 2m) / (3 + 2m)

30) r(t) = (t^2 + 2) / (3 - t^2)

31) m(q) = (q^4 + 2q^2 + 3) / (q^3 - 2)

32) f(x) = (√x + 2x) / (-x^2 + 3)

33) q(r) = (1.5r^3 + 5 - r^2) / r^3

34) t(w) = (w + w^4) / √w

قام بائع ملابس بإيجاد العلاقة بين سعر قميص، وعدد القطع المبيعة منه يوميًا، فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d ريالاً، فإن عدد القطع المبيعة يوميًا يساوي 80 - 2d.

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي، ثم مثل الدالة والمشتقة بيانيًا على المستوى الإحداثي نفسه. (إرشاد: يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني)

36) f(x) = 3x^2 + 2x - 7

37) g(x) = √x + 4

38) f(x) = 4x^5 - 6x^3 + 10x - 11

39) g(x) = 1/x

المشتقات العليا: لتكن f'(x) مشتقة f(x)، فإذا كانت مشتقة f'(x) موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة f، ويُرمز لها بالرمز f''(x)، أو الرمز f^(2)(x)، وكذلك إذا كانت مشتقة f''(x) موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f، ويُرمز لها بالرمز f'''(x) أو f^(3)(x)، وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا للدالة f. أوجد كلاً مما يأتي:

تدرب وحل المسائل أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة: (مثال 1) 1) f(x) = 4x^2 - 3, x = 2, -1 2) g(t) = -t^2 + 2t + 11, t = 5, 3 3) m(j) = 14j - 13, j = -7, -4 4) v(n) = 5n^2 + 9n - 17, n = 7, 2 5) r(b) = 2b^3 - 10b, b = -4, -3 أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (المثالان 2, 3) 6) y(f) = -11f 7) z(n) = 2n^2 + 7n 8) g(h) = 2h^(1/2) + 6h^(1/3) - 2h^(3/2) 9) b(m) = 3m^(2/3) - 2m^(3/2) 10) n(t) = 1/t + 3/t^2 + 2/t^3 + 4 11) f(x) = 3x^(1/2) - x^(3/2) + 2x^(-1/2) 12) p(k) = k^5.2 - 8k^4.8 + 3k 13) q(c) = c^9 - 3c^5 + 5c^2 - 3c --- SECTION: 14 --- درجات حرارة: تُعطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في أحد الأيام بالدالة: f(h) = -0.0036h^3 - 0.01h^2 + 2.04h + 52 حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم. (مثال 4) a. أوجد معادلة تمثل معدل التغير اللحظي لدرجة الحرارة. b. أوجد معدل التغير اللحظي لدرجة الحرارة عندما: h = 2, 14, 20. c. أوجد درجة الحرارة العظمى في الفترة: 0 ≤ h ≤ 24. استعمل الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة، ثم أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة: (مثال 5) 15) f(x) = 2x^2 + 8x, [-5, 0] 16) r(t) = t^4 + 6t^2 - 2, [1, 4] 17) t(u) = u^3 + 15u^2 + 75u + 115, [-6, -3] 18) f(x) = -5x^2 - 90x, [-11, -8] 19) z(k) = k^3 - 3k^2 + 3k, [0, 3] 20) c(n) = 1/3n^3 + 1/2n^2 - 6n + 8, [-5, 5] --- SECTION: 21 --- رياضة: عُد إلى فقرة "لماذا؟" في بداية الدرس. الدالة: h(t) = 65t - 16t^2 + 3 تمثل ارتفاع الكرة بالأقدام بعد t ثانية، عندما 0 ≤ t ≤ 4. (مثال 5) a. أوجد h'(t). b. أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة h(t) في الفترة [0, 4]. c. هل يمكن لأحمد ركل الكرة لتصل إلى ارتفاع 68 ft؟ أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (مثال 6) 22) f(x) = (4x + 3)(x^2 + 9) 23) g(x) = (3x^4 + 2x)(5 - 3x) 24) s(t) = (√t + 2)(3t^11 - 4t) 25) g(x) = (x^(3/2) + 2x)(0.5x^4 - 3x) 26) c(t) = (t^3 + 2t - t^7)(t^6 + 3t^4 - 22t) 27) q(a) = (a^(9/8) + a^(-1/4))(a^(5/4) - 13a) 28) f(x) = (1.4x^5 + 2.7x)(7.3x^9 - 0.8x^5) استعمل قاعدة مشتقة القسمة لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي: (مثال 7) 29) f(m) = (3 - 2m) / (3 + 2m) 30) r(t) = (t^2 + 2) / (3 - t^2) 31) m(q) = (q^4 + 2q^2 + 3) / (q^3 - 2) 32) f(x) = (√x + 2x) / (-x^2 + 3) 33) q(r) = (1.5r^3 + 5 - r^2) / r^3 34) t(w) = (w + w^4) / √w --- SECTION: 35 --- قام بائع ملابس بإيجاد العلاقة بين سعر قميص، وعدد القطع المبيعة منه يوميًا، فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d ريالاً، فإن عدد القطع المبيعة يوميًا يساوي 80 - 2d. a. أوجد r(d) التي تمثل إجمالي المبيعات اليومية، عندما يكون سعر القميص d ريالاً. b. أوجد r'(d). c. أوجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية أكبر ما يمكن. أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي، ثم مثل الدالة والمشتقة بيانيًا على المستوى الإحداثي نفسه. (إرشاد: يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني) 36) f(x) = 3x^2 + 2x - 7 37) g(x) = √x + 4 38) f(x) = 4x^5 - 6x^3 + 10x - 11 39) g(x) = 1/x --- SECTION: 40 --- المشتقات العليا: لتكن f'(x) مشتقة f(x)، فإذا كانت مشتقة f'(x) موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة f، ويُرمز لها بالرمز f''(x)، أو الرمز f^(2)(x)، وكذلك إذا كانت مشتقة f''(x) موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f، ويُرمز لها بالرمز f'''(x) أو f^(3)(x)، وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا للدالة f. أوجد كلاً مما يأتي: a. المشتقة الثانية للدالة: f(x) = 4x^5 - 2x^3 + 6 b. المشتقة الثالثة للدالة: g(x) = -2x^7 + 4x^4 - 7x^3 + 10x c. المشتقة الرابعة للدالة: h(x) = 3x^(-3) + 2x^(-2) + 4x^2