قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

يمكن إيجاد طول المتجه في المستوى الإحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين.

المعيار: يسمى مقدار المتجه أحياناً معيار المتجه.

إذا كان v متجهاً، نقطة بدايته (x₁, y₁)، ونقطة نهايته (x₂, y₂)، فإن طول v يُعطى بالصيغة: |v| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) وإذا كانت ⟨a, b⟩ هي الصورة الإحداثية للمتجه v فإن: |v| = √(a² + b²)

أوجد طول AB الذي نقطة بدايته A(-4, 2)، ونقطة نهايته B(3, -5). الحل: |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √([3 - (-4)]² + (-5 - 2)²) = √98 ≈ 9.9 التحقق: علمت من المثال 1 أن: AB = ⟨7, -7⟩؛ وعليه فإن: |AB| = √(7² + (-7)²) = √98 ≈ 9.9

أوجد طول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي:

تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي، والجمع والطرح على المتجهات، العمليات نفسها على المصفوفات.

إذا كان a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ متجهين، و k عدداً حقيقياً، فإن: جمع متجهين: a + b = ⟨a₁ + b₁, a₂ + b₂⟩ طرح متجهين: a - b = ⟨a₁ - b₁, a₂ - b₂⟩ ضرب متجه في عدد حقيقي: ka = ⟨ka₁, ka₂⟩

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات a = ⟨2, 5⟩, b = ⟨-3, 0⟩, c = ⟨-4, 1⟩: a) c + a c + a = ⟨-4, 1⟩ + ⟨2, 5⟩ = ⟨-4 + 2, 1 + 5⟩ = ⟨-2, 6⟩ b) b - 2a b - 2a = b + (-2)a = ⟨-3, 0⟩ + (-2)⟨2, 5⟩ = ⟨-3, 0⟩ + ⟨-4, -10⟩ = ⟨-7, -10⟩

يمكن التحقق بيانياً من إجابة مثال 3 الفرع a، استعمال طريقة قاعدة متوازي الأضلاع، كما في الشكل أدناه.

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات a = ⟨2, 5⟩, b = ⟨-3, 0⟩, c = ⟨-4, 1⟩:

يمكن إيجاد طول المتجه في المستوى الإحداثي باستعمال قانون المسافة بين نقطتين. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- المعيار: يسمى مقدار المتجه أحياناً معيار المتجه. --- SECTION: مفهوم أساسي: طول المتجه في المستوى الإحداثي --- إذا كان v متجهاً، نقطة بدايته (x₁, y₁)، ونقطة نهايته (x₂, y₂)، فإن طول v يُعطى بالصيغة: |v| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) وإذا كانت ⟨a, b⟩ هي الصورة الإحداثية للمتجه v فإن: |v| = √(a² + b²) --- SECTION: مثال 2: إيجاد طول متجه --- أوجد طول AB الذي نقطة بدايته A(-4, 2)، ونقطة نهايته B(3, -5). الحل: |AB| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) = √([3 - (-4)]² + (-5 - 2)²) = √98 ≈ 9.9 التحقق: علمت من المثال 1 أن: AB = ⟨7, -7⟩؛ وعليه فإن: |AB| = √(7² + (-7)²) = √98 ≈ 9.9 --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد طول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: 2A. A(-2, -7), B(6, 1) 2B. A(0, 8), B(-9, -3) تشبه عمليات الضرب في عدد حقيقي، والجمع والطرح على المتجهات، العمليات نفسها على المصفوفات. --- SECTION: مفهوم أساسي: العمليات على المتجهات --- إذا كان a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ متجهين، و k عدداً حقيقياً، فإن: جمع متجهين: a + b = ⟨a₁ + b₁, a₂ + b₂⟩ طرح متجهين: a - b = ⟨a₁ - b₁, a₂ - b₂⟩ ضرب متجه في عدد حقيقي: ka = ⟨ka₁, ka₂⟩ --- SECTION: مثال 3: العمليات على المتجهات --- أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات a = ⟨2, 5⟩, b = ⟨-3, 0⟩, c = ⟨-4, 1⟩: a) c + a c + a = ⟨-4, 1⟩ + ⟨2, 5⟩ = ⟨-4 + 2, 1 + 5⟩ = ⟨-2, 6⟩ b) b - 2a b - 2a = b + (-2)a = ⟨-3, 0⟩ + (-2)⟨2, 5⟩ = ⟨-3, 0⟩ + ⟨-4, -10⟩ = ⟨-7, -10⟩ --- SECTION: إرشادات للدراسة: التحقق بيانياً --- يمكن التحقق بيانياً من إجابة مثال 3 الفرع a، استعمال طريقة قاعدة متوازي الأضلاع، كما في الشكل أدناه. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات a = ⟨2, 5⟩, b = ⟨-3, 0⟩, c = ⟨-4, 1⟩: 3A. 4c + b 3B. -3c 3C. 2c + 4a - b --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A graph illustrating the distance formula for a vector v. The vector starts at point (x1, y1) and ends at (x2, y2). A right-angled triangle is formed with the vector as the hypotenuse, showing the horizontal component (x2 - x1) and the vertical component (y2 - y1). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of the Pythagorean theorem applied to find vector magnitude in a coordinate plane. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the addition of two vectors a and c using the parallelogram rule. Vector a is red, vector c is blue, and their sum c+a is green. X-axis: x Y-axis: y Context: Demonstrates the parallelogram method for vector addition in the coordinate plane.