صفحة 163 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثّل منحنى دالة لها الخصائص المعطاة في كل مما يأتي:

41) المشتقة تساوي 0، عندما x = -1, 1.

42) المشتقة غير معرّفة، عندما x = 4.

43) المشتقة تساوي 2-، عندما x = -1, 0, 2.

44) المشتقة تساوي 0، عندما x = -1, 2, 4.

45) تمثيلات متعددة: في هذا التمرين ستستكشف علاقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال.

مسائل مهارات التفكير العليا

46) اكتشف الخطأ: قام كل من أحمد وعبدالله بإيجاد [f'(x)]² للدالة f(x) = 6x² + 4x، حيث كانت إجابة عبدالله: 144x³ + 144x² + 32x، في حين كانت إجابة أحمد: 144x² + 96x + 16، فأيهما كانت إجابة صحيحة؟ برّر إجابتك.

47) تحدٍّ: أوجد f'(y) علمًا بأن: f(y) = 10x²y³ + 5xz² - 6xy² + 8x⁵ - 11x⁸yz⁷

48) برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب، بإثبات أن: f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = lim (h→0) [f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)] / h (إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، وأضف f(x)g(x + h) إلى البسط واطرحه منه).

49) تبرير: بيّن ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو خاطئة، وبرّر إجابتك. "إذا كانت: f(x) = x^(5n + 3) ، فإن f'(x) = (5n + 3) x^(5n + 2)"

50) برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة، وذلك بإثبات أن: [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]² = lim (h→0) [f(x + h)/g(x + h) - f(x)/g(x)] / h (إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، ووحّد المقامات في البسط، ثم أضف f(x)g(x) إلى البسط واطرحه منه).

51) اكتب: هل من الممكن أن يكون لدالتين مختلفتين المشتقة نفسها؟ عزّز إجابتك بأمثلة.

مراجعة تراكمية

أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: (الدرس 3-8)

52) y = x² - 3x, (0, 0), (3, 0)

53) y = 4 - 2x, (-2, 8), (6, -8)

54) y = x² + 9, (3, 18), (6, 45)

احسب كل نهاية مما يأتي: (الدرس 2-8)

55) lim (x→-4) (x² - 16) / (x + 4)

56) lim (x→-2) (x² + 5x + 6) / (x² + x - 2)

57) lim (x→-2) (3x + 9) / (x² - 5x - 24)

قدّر كل نهاية مما يأتي: (الدرس 1-8)

58) lim (x→4⁺) (x² - x - 12) / |x - 4|

59) lim (x→0⁺) (√x + 2x + 3)

تدريب على اختبار

60) ما مشتقة: h(x) = (-7x² + 4)(2 - x)؟

61) ما ميل مماس منحنى y = 2x² عند النقطة (1, 2)؟

62) ما مشتقة: f(x) = 5 ∛(x⁸) ؟

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 4-8 المشتقات 163

مثّل منحنى دالة لها الخصائص المعطاة في كل مما يأتي: 41) المشتقة تساوي 0، عندما x = -1, 1. 42) المشتقة غير معرّفة، عندما x = 4. 43) المشتقة تساوي 2-، عندما x = -1, 0, 2. 44) المشتقة تساوي 0، عندما x = -1, 2, 4. --- SECTION: 45 --- 45) تمثيلات متعددة: في هذا التمرين ستستكشف علاقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال. a. تحليليًا: أوجد مشتقة صيغة مساحة الدائرة بالنسبة لنصف القطر r. b. لفظيًا: وضّح العلاقة بين المعادلة الأصلية ومشتقتها في الفرع a. c. بيانيًا: ارسم مربعًا طول ضلعه 2a، ومكعبًا طول ضلعه 2a. d. تحليليًا: اكتب صيغة تمثّل مساحة المربع، وأخرى تمثّل حجم المكعب بدلالة a، ثم أوجد مشتقتي الصيغتين. e. لفظيًا: وضّح العلاقة بين المعادلة الأصلية ومشتقتها في الفرع d. مسائل مهارات التفكير العليا 46) اكتشف الخطأ: قام كل من أحمد وعبدالله بإيجاد [f'(x)]² للدالة f(x) = 6x² + 4x، حيث كانت إجابة عبدالله: 144x³ + 144x² + 32x، في حين كانت إجابة أحمد: 144x² + 96x + 16، فأيهما كانت إجابة صحيحة؟ برّر إجابتك. 47) تحدٍّ: أوجد f'(y) علمًا بأن: f(y) = 10x²y³ + 5xz² - 6xy² + 8x⁵ - 11x⁸yz⁷ 48) برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة الضرب، بإثبات أن: f'(x)g(x) + f(x)g'(x) = lim (h→0) [f(x + h)g(x + h) - f(x)g(x)] / h (إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، وأضف f(x)g(x + h) إلى البسط واطرحه منه). 49) تبرير: بيّن ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أو خاطئة، وبرّر إجابتك. "إذا كانت: f(x) = x^(5n + 3) ، فإن f'(x) = (5n + 3) x^(5n + 2)" 50) برهان: برهن صحة قاعدة مشتقة القسمة، وذلك بإثبات أن: [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]² = lim (h→0) [f(x + h)/g(x + h) - f(x)/g(x)] / h (إرشاد: ابدأ بالطرف الأيمن، ووحّد المقامات في البسط، ثم أضف f(x)g(x) إلى البسط واطرحه منه). 51) اكتب: هل من الممكن أن يكون لدالتين مختلفتين المشتقة نفسها؟ عزّز إجابتك بأمثلة. مراجعة تراكمية أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عند النقاط المعطاة: (الدرس 3-8) 52) y = x² - 3x, (0, 0), (3, 0) 53) y = 4 - 2x, (-2, 8), (6, -8) 54) y = x² + 9, (3, 18), (6, 45) احسب كل نهاية مما يأتي: (الدرس 2-8) 55) lim (x→-4) (x² - 16) / (x + 4) 56) lim (x→-2) (x² + 5x + 6) / (x² + x - 2) 57) lim (x→-2) (3x + 9) / (x² - 5x - 24) قدّر كل نهاية مما يأتي: (الدرس 1-8) 58) lim (x→4⁺) (x² - x - 12) / |x - 4| 59) lim (x→0⁺) (√x + 2x + 3) تدريب على اختبار 60) ما مشتقة: h(x) = (-7x² + 4)(2 - x)؟ A. h'(x) = -14x B. h'(x) = 14x C. h'(x) = -21x² - 28x + 4 D. h'(x) = 21x² - 28x - 4 61) ما ميل مماس منحنى y = 2x² عند النقطة (1, 2)؟ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 62) ما مشتقة: f(x) = 5 ∛(x⁸) ؟ F. f'(x) = 40/3 x^(5/3) G. f'(x) = 40/3 x^(8/3) H. f'(x) = 225 x^(5/3) J. f'(x) = 225 x^(8/3) وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 4-8 المشتقات 163