فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل Area Under the Curve and Integration

درستُ حساب النهايات جبرياً باستعمال خصائصها. (الدرس 2-8)

• أقرب المساحة تحت منحنى دالة باستعمال مستطيلات. • أجد المساحة تحت منحنى دالة باستعمال التكامل المحدد.

التجزيء المنتظم regular partition التكامل المحدد definite integral الحد الأدنى lower limit الحد الأعلى upper limit مجموع ريمان الأيمن right Riemann sum التكامل integration

التكلفة الحدية (الهامشية) هي التكلفة الإضافية المترتبة على إنتاج وحدة إضافية واحدة من منتج ما، ويمكن إيجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. تُمثل الدالة f(x) = 0.002x - 10 التكلفة الحدية لطباعة x نسخة من كتاب ما بالريال.

سبق أن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات الأشكال الأساسية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف، كما درست حساب بعض الأشكال المركبة التي تتكون من أشكال أساسية، إلا أن العديد من الأشكال المركبة لا تتكون من أشكال أساسية، مما يستدعي الحاجة إلى طريقة عامة لحساب مساحة أي شكل ثنائي الأبعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلال استعمال شكل أساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمثلاً يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 12x والمحور x على الفترة [0, 12] باستعمال مستطيلات متساوية العرض.

المساحة تحت منحنى باستعمال مستطيلات قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 12x والمحور x على الفترة [0, 12] باستعمال 4، 6، 12 مستطيلاً على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. مثل الدالة والمستطيلات كما في الأشكال التالية، باتباع الخطوات التالية:

خطوات الحل:

فمثلاً ارتفاعات المستطيلات في الشكل (1) هي f(3), f(6), f(9), f(12). ويمكننا استعمال ارتفاعات المستطيلات وأطوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة.

ثابت بن قرة (221 هـ - 288 هـ) من أوائل من وضع نواة علم التكامل من خلال نظريته "إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين إلى ما لا نهاية، صغر الفرق تدريجياً بين الأضلاع كلما اقترب من المركز، واقترب من الصفر حتى يفنى".

164 الفصل 8 النهايات والاشتقاق

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 8-5 المساحة تحت المنحنى والتكامل Area Under the Curve and Integration --- SECTION: فيما سبق --- درستُ حساب النهايات جبرياً باستعمال خصائصها. (الدرس 2-8) --- SECTION: والآن --- • أقرب المساحة تحت منحنى دالة باستعمال مستطيلات. • أجد المساحة تحت منحنى دالة باستعمال التكامل المحدد. --- SECTION: المفردات --- التجزيء المنتظم regular partition التكامل المحدد definite integral الحد الأدنى lower limit الحد الأعلى upper limit مجموع ريمان الأيمن right Riemann sum التكامل integration --- SECTION: لماذا؟ --- التكلفة الحدية (الهامشية) هي التكلفة الإضافية المترتبة على إنتاج وحدة إضافية واحدة من منتج ما، ويمكن إيجاد معادلة التكلفة الحدية باشتقاق معادلة التكلفة الحقيقية للمنتج. تُمثل الدالة f(x) = 0.002x - 10 التكلفة الحدية لطباعة x نسخة من كتاب ما بالريال. --- SECTION: المساحة تحت منحنى --- سبق أن درست في الهندسة طريقة حساب مساحات الأشكال الأساسية كالمثلث والمستطيل وشبه المنحرف، كما درست حساب بعض الأشكال المركبة التي تتكون من أشكال أساسية، إلا أن العديد من الأشكال المركبة لا تتكون من أشكال أساسية، مما يستدعي الحاجة إلى طريقة عامة لحساب مساحة أي شكل ثنائي الأبعاد. يمكننا تقريب مساحة شكل غير منتظم من خلال استعمال شكل أساسي معلوم المساحة كالمستطيل. فمثلاً يمكننا تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 12x والمحور x على الفترة [0, 12] باستعمال مستطيلات متساوية العرض. --- SECTION: مثال 1 --- المساحة تحت منحنى باستعمال مستطيلات قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 12x والمحور x على الفترة [0, 12] باستعمال 4، 6، 12 مستطيلاً على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. مثل الدالة والمستطيلات كما في الأشكال التالية، باتباع الخطوات التالية: خطوات الحل: 1. أوجد طول الفترة [0, 12] بطرح بدايتها من نهايتها. 2. أوجد عرض كل مستطيل بقسمة طول الفترة على عدد المستطيلات، فمثلاً إذا كان عدد المستطيلات 4 نقسم: 12 ÷ 4 = 3 3. قسّم الفترة [0, 12] إلى 4 فترات (أربعة مستطيلات) طول كل منها يساوي 3 4. ارسم على كل فترة جزئية مستطيلاً أحد بعديه يساوي طول هذه الفترة، والبعد الآخر يساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن للفترة. فمثلاً ارتفاعات المستطيلات في الشكل (1) هي f(3), f(6), f(9), f(12). ويمكننا استعمال ارتفاعات المستطيلات وأطوال قواعدها لتقريب المساحة المطلوبة. --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- ثابت بن قرة (221 هـ - 288 هـ) من أوائل من وضع نواة علم التكامل من خلال نظريته "إذا ضوعف عدد أضلاع المضلع المنتظم، المرسوم بين محيطين أو مساحتين إلى ما لا نهاية، صغر الفرق تدريجياً بين الأضلاع كلما اقترب من المركز، واقترب من الصفر حتى يفنى". 164 الفصل 8 النهايات والاشتقاق --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a bookshelf filled with various Arabic books, illustrating the context of printing costs mentioned in the 'لماذا؟' section. **IMAGE**: Untitled Description: An illustration of an old parchment scroll and a quill pen in an inkwell, accompanying the 'تاريخ الرياضيات' section about Thabit ibn Qurra.