تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الشكل (1)

المساحة باستعمال 4 مستطيلات R₁ = 3 · f(3) = 81 R₂ = 3 · f(6) = 108 R₃ = 3 · f(9) = 81 R₄ = 3 · f(12) = 0 المساحة الكلية 270 وحدة مربعة.

الشكل (2)

المساحة باستعمال 6 مستطيلات R₁ = 2 · f(2) = 40 R₂ = 2 · f(4) = 64 R₃ = 2 · f(6) = 72 R₄ = 2 · f(8) = 64 R₅ = 2 · f(10) = 40 R₆ = 2 · f(12) = 0 المساحة الكلية 280 وحدة مربعة.

الشكل (3)

المساحة باستعمال 12 مستطيلاً R₁ = 1 · f(1) = 11 R₂ = 1 · f(2) = 20 R₃ = 1 · f(3) = 27 R₄ = 1 · f(4) = 32 R₅ = 1 · f(5) = 35 R₆ = 1 · f(6) = 36 R₇ = 1 · f(7) = 35 R₈ = 1 · f(8) = 32 R₉ = 1 · f(9) = 27 R₁₀ = 1 · f(10) = 20 R₁₁ = 1 · f(11) = 11 R₁₂ = 1 · f(12) = 0 المساحة الكلية 286 وحدة مربعة.

أي أن المساحة التقريبية باستعمال 4 ، 6 ، 12 مستطيلاً هي بالترتيب: 270 وحدة مربعة، 280 وحدة مربعة، 286 وحدة مربعة.

1) قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 24x والمحور x على الفترة [0, 24] باستعمال 6، 8، 12 مستطيلاً على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه.

لاحظ أن المستطيلات الأقل عرضاً تمثّل المساحة المطلوبة بصورة أفضل، وتعطي تقريباً أدق للمساحة الكلية. وكما استعملنا الأطراف اليمنى لقاعدة مستطيل لتحديد ارتفاعاتها ، فإنه يمكننا أيضاً استعمال أطرافها اليسرى لتحديد ارتفاعاتها وهذا قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. إن استعمال الأطراف اليمنى أو اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها قد يؤدي إلى إضافة أجزاء لا تقع بين المنحنى والمحور x ، أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى والمحور x . ومن الممكن الحصول على تقريب أفضل للمساحة في بعض الأحيان باستعمال كل من الأطراف اليمنى واليسرى لقواعد المستطيلات ، ثم أخذ الوسط للتقريبين.

مثال 2: المساحة تحت المنحنى باستعمال الأطراف اليمنى واليسرى للمستطيلات

قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = x² والمحور x في الفترة [0, 4] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى للمستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين.

إن استعمال مستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه 4 مستطيلات سواء أكانت الأطراف اليمنى أو اليسرى للمستطيلات هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) المستطيلات باستعمال الأطراف اليمنى، في حين يوضح الشكل (2) المستطيلات باستعمال الأطراف اليسرى.

جداول؛ للحصول على ارتفاعات متعددة للمستطيلات، والتي تمثل بعض قيم f(x) باستعمال الآلة الحاسبة البيانية. مثل الدالة باستعمال تطبيق الرسوم البيانية، وذلك بالضغط على [on] ثم كتابة الدالة f(x) = x². ويمكن توضيح ارتفاعات المستطيلات f(x) باستعمال جدول، وذلك بالضغط على [menu] ومنها اختيار 7: الجدول. [1: إظهار الجدول في شاشة جانبية (Ctrl + T)]. ويمكنك تعديل فترات قيم x في الجدول بالضغط على [menu] ومنها على 2: الجدول، ثم 5: تحرير إعدادات الجدول... ثم حدد بداية الجدول والخطوة أو تدريج قيم x.

الشكل (1) المساحة باستعمال 4 مستطيلات R₁ = 3 · f(3) = 81 R₂ = 3 · f(6) = 108 R₃ = 3 · f(9) = 81 R₄ = 3 · f(12) = 0 المساحة الكلية 270 وحدة مربعة. الشكل (2) المساحة باستعمال 6 مستطيلات R₁ = 2 · f(2) = 40 R₂ = 2 · f(4) = 64 R₃ = 2 · f(6) = 72 R₄ = 2 · f(8) = 64 R₅ = 2 · f(10) = 40 R₆ = 2 · f(12) = 0 المساحة الكلية 280 وحدة مربعة. الشكل (3) المساحة باستعمال 12 مستطيلاً R₁ = 1 · f(1) = 11 R₂ = 1 · f(2) = 20 R₃ = 1 · f(3) = 27 R₄ = 1 · f(4) = 32 R₅ = 1 · f(5) = 35 R₆ = 1 · f(6) = 36 R₇ = 1 · f(7) = 35 R₈ = 1 · f(8) = 32 R₉ = 1 · f(9) = 27 R₁₀ = 1 · f(10) = 20 R₁₁ = 1 · f(11) = 11 R₁₂ = 1 · f(12) = 0 المساحة الكلية 286 وحدة مربعة. أي أن المساحة التقريبية باستعمال 4 ، 6 ، 12 مستطيلاً هي بالترتيب: 270 وحدة مربعة، 280 وحدة مربعة، 286 وحدة مربعة. --- SECTION: تحقق من فهمك --- 1) قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = -x² + 24x والمحور x على الفترة [0, 24] باستعمال 6، 8، 12 مستطيلاً على الترتيب. استعمل الطرف الأيمن لقاعدة كل مستطيل لتحديد ارتفاعه. لاحظ أن المستطيلات الأقل عرضاً تمثّل المساحة المطلوبة بصورة أفضل، وتعطي تقريباً أدق للمساحة الكلية. وكما استعملنا الأطراف اليمنى لقاعدة مستطيل لتحديد ارتفاعاتها ، فإنه يمكننا أيضاً استعمال أطرافها اليسرى لتحديد ارتفاعاتها وهذا قد ينتج عنه تقريب مختلف للمساحة. إن استعمال الأطراف اليمنى أو اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها قد يؤدي إلى إضافة أجزاء لا تقع بين المنحنى والمحور x ، أو حذف أجزاء تقع بين المنحنى والمحور x . ومن الممكن الحصول على تقريب أفضل للمساحة في بعض الأحيان باستعمال كل من الأطراف اليمنى واليسرى لقواعد المستطيلات ، ثم أخذ الوسط للتقريبين. مثال 2: المساحة تحت المنحنى باستعمال الأطراف اليمنى واليسرى للمستطيلات قرّب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = x² والمحور x في الفترة [0, 4] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى للمستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين. إن استعمال مستطيلات عرض كل منها وحدة واحدة ينتج عنه 4 مستطيلات سواء أكانت الأطراف اليمنى أو اليسرى للمستطيلات هي التي تحدد ارتفاعاتها. ويوضح الشكل (1) المستطيلات باستعمال الأطراف اليمنى، في حين يوضح الشكل (2) المستطيلات باستعمال الأطراف اليسرى. --- SECTION: إرشاد تقني --- جداول؛ للحصول على ارتفاعات متعددة للمستطيلات، والتي تمثل بعض قيم f(x) باستعمال الآلة الحاسبة البيانية. مثل الدالة باستعمال تطبيق الرسوم البيانية، وذلك بالضغط على [on] ثم كتابة الدالة f(x) = x². ويمكن توضيح ارتفاعات المستطيلات f(x) باستعمال جدول، وذلك بالضغط على [menu] ومنها اختيار 7: الجدول. [1: إظهار الجدول في شاشة جانبية (Ctrl + T)]. ويمكنك تعديل فترات قيم x في الجدول بالضغط على [menu] ومنها على 2: الجدول، ثم 5: تحرير إعدادات الجدول... ثم حدد بداية الجدول والخطوة أو تدريج قيم x. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph shows the area under the curve f(x) = -x² + 12x from x=0 to x=12 approximated by 4 rectangles using right endpoints. The rectangles have width 3. Heights are f(3)=27, f(6)=36, f(9)=27, f(12)=0. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph shows the area under the curve f(x) = -x² + 12x from x=0 to x=12 approximated by 6 rectangles using right endpoints. The rectangles have width 2. Heights are f(2)=20, f(4)=32, f(6)=36, f(8)=32, f(10)=20, f(12)=0. **GRAPH**: Untitled Description: Graph shows the area under the curve f(x) = -x² + 12x from x=0 to x=12 approximated by 12 rectangles using right endpoints. The rectangles have width 1. Heights follow the function values from f(1) to f(12). **IMAGE**: Untitled Description: A screenshot of a graphing calculator showing a table of values for the function f2(x) = x². Table Structure: Headers: x | f2(x) := x² Rows: Row 1: 0.5 | 0.25 Row 2: 1 | 1. Row 3: 1.5 | 2.25 Row 4: 2 | 4. Row 5: 2.5 | 6.25