التكامل

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

الشكل (1) المساحة باستعمال الأطراف اليمنى

نوع: محتوى تعليمي

R1 = 1 * f(1) = 1
R2 = 1 * f(2) = 4
R3 = 1 * f(3) = 9
R4 = 1 * f(4) = 16
المساحة الكلية 30 وحدة مربعة

نوع: محتوى تعليمي

الشكل (2) المساحة باستعمال الأطراف اليسرى

نوع: محتوى تعليمي

R1 = 1 * f(0) = 0
R2 = 1 * f(1) = 1
R3 = 1 * f(2) = 4
R4 = 1 * f(3) = 9
المساحة الكلية 14 وحدة مربعة

نوع: محتوى تعليمي

أي أن المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليمنى هي 30 وحدة مربعة، بينما المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليسرى هي 14 وحدة مربعة، وهذان تقديران تقع المساحة بينهما، وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب أفضل للمساحة، وهو 22 وحدة مربعة.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = 12/x والمحور x في الفترة [1, 5] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين.

نوع: محتوى تعليمي

عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x، فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه، إلا أن النقاط الأكثر شيوعاً هي نقطتا الطرفين الأيمن والأيسر، ونقطة المنتصف.

نوع: محتوى تعليمي

التكامل لاحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيلات، فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى، ومن ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلات عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر.

قراءة الرياضيات - رمز المجموع

نوع: محتوى تعليمي

تُقرأ العبارة Σ f(xi) Δx من i=1 إلى n كالآتي: مجموع حواصل ضرب f(xi) في Δx من i=1 إلى i=n.

نوع: محتوى تعليمي

في الشكل المجاور، قُسمت الفترة من a إلى b إلى n من الفترات الجزئية المتساوية الطول، وتُسمى هذه التجزئة التجزيء المنتظم. إن طول الفترة الكلية من a إلى b هو b - a ، وبذلك يكون طول كل فترة جزئية (عرض كل مستطيل من المستطيلات التي عددها n) هو (b-a)/n ، ويُرمز له بالرمز Δx. وبما أن ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل، فإن ارتفاع المستطيل الأول هو f(x1) ، وارتفاع المستطيل الثاني هو f(x2) ، وهكذا يكون ارتفاع المستطيل الأخير f(xn).

نوع: محتوى تعليمي

يمكن الآن حساب مساحة كل مستطيل من خلال ضرب Δx في ارتفاع ذلك المستطيل، أي أن مساحة المستطيل الأول هي f(x1) Δx ، ومساحة المستطيل الثاني هي f(x2) Δx ، وهكذا. وتُعطى المساحة الكلية A للمستطيلات بمجموع مساحاتها، ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع.

نوع: محتوى تعليمي

A = f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx (اجمع المساحات)
A = Δx [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)] (أخرج العامل المشترك Δx)
A = Δx Σ f(xi) من i=1 إلى n (استعمل رمز المجموع)
A = Σ f(xi) Δx من i=1 إلى n (خواص رمز المجموع)

🔍 عناصر مرئية

المساحة باستعمال الأطراف اليمنى

رسم بياني يوضح تقريب المساحة تحت المنحنى f(x)=x^2 في الفترة [0, 4] باستخدام 4 مستطيلات عرض كل منها 1 وحدة، حيث يتم تحديد الارتفاع بناءً على الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. المستطيلات تقع فوق المنحنى (تقدير زائد).

المساحة باستعمال الأطراف اليسرى

رسم بياني يوضح تقريب المساحة تحت المنحنى f(x)=x^2 في الفترة [0, 4] باستخدام 4 مستطيلات عرض كل منها 1 وحدة، حيث يتم تحديد الارتفاع بناءً على الطرف الأيسر لكل فترة جزئية. المستطيلات تقع تحت المنحنى (تقدير ناقص).

التجزيء المنتظم ومجموع ريمان

رسم توضيحي عام لتقريب المساحة تحت منحنى دالة f(x) في الفترة [a, b] بتقسيمها إلى n مستطيلات عرض كل منها Δx. يوضح الرموز المستخدمة في التعريف العام للمساحة.

📄 النص الكامل للصفحة

الشكل (1) المساحة باستعمال الأطراف اليمنى

R1 = 1 * f(1) = 1
R2 = 1 * f(2) = 4
R3 = 1 * f(3) = 9
R4 = 1 * f(4) = 16
المساحة الكلية 30 وحدة مربعة

الشكل (2) المساحة باستعمال الأطراف اليسرى

R1 = 1 * f(0) = 0
R2 = 1 * f(1) = 1
R3 = 1 * f(2) = 4
R4 = 1 * f(3) = 9
المساحة الكلية 14 وحدة مربعة

أي أن المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليمنى هي 30 وحدة مربعة، بينما المساحة الناتجة عن استعمال الأطراف اليسرى هي 14 وحدة مربعة، وهذان تقديران تقع المساحة بينهما، وبحساب الوسط للقيمتين نحصل على تقريب أفضل للمساحة، وهو 22 وحدة مربعة.

تحقق من فهمك

--- SECTION: 2 ---
2) قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى f(x) = 12/x والمحور x في الفترة [1, 5] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين.

عند تقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x، فإنه يمكننا استعمال أي نقطة على قاعدة المستطيل لتحديد ارتفاعه، إلا أن النقاط الأكثر شيوعاً هي نقطتا الطرفين الأيمن والأيسر، ونقطة المنتصف.

--- SECTION: التكامل ---
التكامل لاحظت في مثال 1 أنه كلما قل عرض المستطيلات، فإن مساحتها الكلية تقترب من المساحة الفعلية تحت المنحنى، ومن ذلك نستنتج أن المساحة المطلوبة هي نهاية مجموع مساحات المستطيلات عندما يقترب عرض كل مستطيل من الصفر.

--- SECTION: قراءة الرياضيات - رمز المجموع ---
تُقرأ العبارة Σ f(xi) Δx من i=1 إلى n كالآتي: مجموع حواصل ضرب f(xi) في Δx من i=1 إلى i=n.

في الشكل المجاور، قُسمت الفترة من a إلى b إلى n من الفترات الجزئية المتساوية الطول، وتُسمى هذه التجزئة التجزيء المنتظم. إن طول الفترة الكلية من a إلى b هو b - a ، وبذلك يكون طول كل فترة جزئية (عرض كل مستطيل من المستطيلات التي عددها n) هو (b-a)/n ، ويُرمز له بالرمز Δx. وبما أن ارتفاع كل مستطيل يساوي قيمة الدالة عند الطرف الأيمن لقاعدة المستطيل، فإن ارتفاع المستطيل الأول هو f(x1) ، وارتفاع المستطيل الثاني هو f(x2) ، وهكذا يكون ارتفاع المستطيل الأخير f(xn).

يمكن الآن حساب مساحة كل مستطيل من خلال ضرب Δx في ارتفاع ذلك المستطيل، أي أن مساحة المستطيل الأول هي f(x1) Δx ، ومساحة المستطيل الثاني هي f(x2) Δx ، وهكذا. وتُعطى المساحة الكلية A للمستطيلات بمجموع مساحاتها، ويمكن كتابتها باستعمال رمز المجموع.

A = f(x1)Δx + f(x2)Δx + ... + f(xn)Δx (اجمع المساحات)
A = Δx [f(x1) + f(x2) + ... + f(xn)] (أخرج العامل المشترك Δx)
A = Δx Σ f(xi) من i=1 إلى n (استعمل رمز المجموع)
A = Σ f(xi) Δx من i=1 إلى n (خواص رمز المجموع)

--- VISUAL CONTEXT ---
**GRAPH**: المساحة باستعمال الأطراف اليمنى
Description: رسم بياني يوضح تقريب المساحة تحت المنحنى f(x)=x^2 في الفترة [0, 4] باستخدام 4 مستطيلات عرض كل منها 1 وحدة، حيث يتم تحديد الارتفاع بناءً على الطرف الأيمن لكل فترة جزئية. المستطيلات تقع فوق المنحنى (تقدير زائد).
X-axis: x
Y-axis: y
Context: يوضح كيفية حساب مجموع ريمان الأيمن.

**GRAPH**: المساحة باستعمال الأطراف اليسرى
Description: رسم بياني يوضح تقريب المساحة تحت المنحنى f(x)=x^2 في الفترة [0, 4] باستخدام 4 مستطيلات عرض كل منها 1 وحدة، حيث يتم تحديد الارتفاع بناءً على الطرف الأيسر لكل فترة جزئية. المستطيلات تقع تحت المنحنى (تقدير ناقص).
X-axis: x
Y-axis: y
Context: يوضح كيفية حساب مجموع ريمان الأيسر.

**DIAGRAM**: التجزيء المنتظم ومجموع ريمان
Description: رسم توضيحي عام لتقريب المساحة تحت منحنى دالة f(x) في الفترة [a, b] بتقسيمها إلى n مستطيلات عرض كل منها Δx. يوضح الرموز المستخدمة في التعريف العام للمساحة.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: يوضح المفهوم النظري لتقسيم الفترة وحساب المساحة الكلية كمجموع لمساحات المستطيلات.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 2: 2) قرب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى $f(x) = \frac{12}{x}$ والمحور x في الفترة [1, 5] باستعمال مستطيلات عرض كل واحد منها وحدة واحدة. استعمل الأطراف اليمنى ثم اليسرى لقواعد المستطيلات لتحديد ارتفاعاتها، ثم احسب الوسط للتقريبين.

الإجابة: س: 2 $\Delta x = 1$ $A_R = 1(2.4 + 3 + 4 + 6) = 15.4$ $A_L = 1(3 + 4 + 6 + 12) = 25$ $A_{avg} = \frac{15.4 + 25}{2} = 20.2$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد المعلومات الأساسية من السؤال: - الدالة: $f(x) = \frac{12}{x}$ - الفترة: $[1, 5]$ - عرض المستطيل (\\Delta x): وحدة واحدة، أي $\\Delta x = 1$. - عدد المستطيلات: بما أن طول الفترة هو $5 - 1 = 4$ والعرض 1، إذن لدينا 4 مستطيلات. - نقاط التقسيم هي: $x_0=1, x_1=2, x_2=3, x_3=4, x_4=5$.
**الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد المساحة التقريبية، نستخدم مجموع مساحات المستطيلات: - للأطراف اليمنى ($A_R$): نستخدم النقاط $\{2, 3, 4, 5\}$. - للأطراف اليسرى ($A_L$): نستخدم النقاط $\{1, 2, 3, 4\}$. - الوسط (المتوسط): $A_{avg} = \frac{A_R + A_L}{2}$
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً: نحسب قيم الدالة عند النقاط المطلوبة: $f(1) = \frac{12}{1} = 12$ $f(2) = \frac{12}{2} = 6$ $f(3) = \frac{12}{3} = 4$ $f(4) = \frac{12}{4} = 3$ $f(5) = \frac{12}{5} = 2.4$ ثانياً: نحسب مساحة الأطراف اليمنى ($A_R$): $A_R = 1 \times [f(2) + f(3) + f(4) + f(5)] = 1 \times (6 + 4 + 3 + 2.4) = 15.4$ ثالثاً: نحسب مساحة الأطراف اليسرى ($A_L$): $A_L = 1 \times [f(1) + f(2) + f(3) + f(4)] = 1 \times (12 + 6 + 4 + 3) = 25$
**الخطوة 4 (النتيجة):** نحسب الوسط للتقريبين: $A_{avg} = \frac{15.4 + 25}{2} = \frac{40.4}{2} = 20.2$ إذن، المساحة التقريبية باستخدام الأطراف اليمنى هي **15.4**، وباستخدام الأطراف اليسرى هي **25**، ومتوسطهما هو **20.2**.