قراءة الرياضيات - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

ولتسهيل الحسابات مستقبلاً، فإنه يمكننا اشتقاق صيغة لإيجاد أي xi. فبما أن عرض أي من المستطيلات هو Δx ، ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم xi. وبالنظر إلى خط الأعداد أدناه:

رمز التكامل المحدد: يقرأ الرمز ∫[a to b] f(x) dx للتكامل من a إلى b للدالة f(x) بالنسبة لـ x.

يُعبر عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x في الفترة [a, b] بالصيغة: ∫[a to b] f(x) dx = lim (n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi) Δx , Δx = (b - a) / n , xi = a + iΔx حيث a الحد الأدنى، و b الحد الأعلى، وتُسمى هذه الطريقة مجموع ريمان الأيمن.

سُمي مجموع ريمان بهذا الاسم نسبةً للعالم الألماني بيرنارد ريمان (1826 - 1866). والذي يُعزى إليه إيجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال الأطراف اليسرى أو نقاط المنتصف لتحديد ارتفاعات المستطيلات. وتسمى عملية حساب التكامل تكاملاً، وستسهل صيغ المجاميع الآتية حساب التكامل المحدد.

المجموع: إن مجموع عدد ثابت c هو cn ، فمثلاً Σ[i=1 to n] 5 = 5n.

Σ[i=1 to n] c = cn Σ[i=1 to n] i = n(n + 1) / 2 Σ[i=1 to n] i² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 Σ[i=1 to n] i³ = n²(n + 1)² / 4 Σ[i=1 to n] i⁴ = (6n⁵ + 15n⁴ + 10n³ - n) / 30 Σ[i=1 to n] i⁵ = (2n⁶ + 6n⁵ + 5n⁴ - n²) / 12

تُستعمل خاصيتا المجموع الآتيتان لحساب بعض التكاملات: Σ[i=1 to n] ci = c Σ[i=1 to n] i , c عدد ثابت Σ[i=1 to n] (ai ± bi) = Σ[i=1 to n] ai ± Σ[i=1 to n] bi

المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل: استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = x² والمحور x في الفترة [0, 4]؛ أي ∫[0 to 4] x² dx . ابدأ بإيجاد Δx ، xi . صيغة Δx: Δx = (b - a) / n = (4 - 0) / n = 4/n , b = 4, a = 0 صيغة xi: xi = a + iΔx = 0 + i(4/n) = 4i/n , a = 0, Δx = 4/n احسب التكامل المحدد الذي يُعطي المساحة المطلوبة.

ولتسهيل الحسابات مستقبلاً، فإنه يمكننا اشتقاق صيغة لإيجاد أي xi. فبما أن عرض أي من المستطيلات هو Δx ، ويساوي الفرق بين أي قيمتين متتاليتين من قيم xi. وبالنظر إلى خط الأعداد أدناه: --- SECTION: قراءة الرياضيات --- رمز التكامل المحدد: يقرأ الرمز ∫[a to b] f(x) dx للتكامل من a إلى b للدالة f(x) بالنسبة لـ x. --- SECTION: مفهوم أساسي: التكامل المحدد --- يُعبر عن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x في الفترة [a, b] بالصيغة: ∫[a to b] f(x) dx = lim (n→∞) Σ[i=1 to n] f(xi) Δx , Δx = (b - a) / n , xi = a + iΔx حيث a الحد الأدنى، و b الحد الأعلى، وتُسمى هذه الطريقة مجموع ريمان الأيمن. سُمي مجموع ريمان بهذا الاسم نسبةً للعالم الألماني بيرنارد ريمان (1826 - 1866). والذي يُعزى إليه إيجاد صيغة لتقريب المساحة المحصورة باستعمال النهايات. ويمكننا تعديل الصيغة باستعمال الأطراف اليسرى أو نقاط المنتصف لتحديد ارتفاعات المستطيلات. وتسمى عملية حساب التكامل تكاملاً، وستسهل صيغ المجاميع الآتية حساب التكامل المحدد. --- SECTION: تنبيه! --- المجموع: إن مجموع عدد ثابت c هو cn ، فمثلاً Σ[i=1 to n] 5 = 5n. Σ[i=1 to n] c = cn Σ[i=1 to n] i = n(n + 1) / 2 Σ[i=1 to n] i² = n(n + 1)(2n + 1) / 6 Σ[i=1 to n] i³ = n²(n + 1)² / 4 Σ[i=1 to n] i⁴ = (6n⁵ + 15n⁴ + 10n³ - n) / 30 Σ[i=1 to n] i⁵ = (2n⁶ + 6n⁵ + 5n⁴ - n²) / 12 تُستعمل خاصيتا المجموع الآتيتان لحساب بعض التكاملات: Σ[i=1 to n] ci = c Σ[i=1 to n] i , c عدد ثابت Σ[i=1 to n] (ai ± bi) = Σ[i=1 to n] ai ± Σ[i=1 to n] bi --- SECTION: مثال 3 --- المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل: استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = x² والمحور x في الفترة [0, 4]؛ أي ∫[0 to 4] x² dx . ابدأ بإيجاد Δx ، xi . صيغة Δx: Δx = (b - a) / n = (4 - 0) / n = 4/n , b = 4, a = 0 صيغة xi: xi = a + iΔx = 0 + i(4/n) = 4i/n , a = 0, Δx = 4/n احسب التكامل المحدد الذي يُعطي المساحة المطلوبة. --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: خط أعداد يوضح تقسيم الفترة [a, b] إلى n من الفترات الجزئية المتساوية بطول Δx. تظهر النقاط a, a+Δx, a+2Δx, a+3Δx وصولاً إلى a+nΔx، مع تسمية النقاط x1, x2, x3, xi, xn فوقها. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق يحتوي على رمز التكامل المحدد ∫ من a إلى b للدالة f(x) بالنسبة لـ x. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق 'مفهوم أساسي' يحتوي على تعريف التكامل المحدد كنهاية لمجموع ريمان. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق 'تنبيه' يوضح قاعدة مجموع الثابت Σ c = cn. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للدالة y = x² في الفترة من x=0 إلى x=4. المنطقة تحت المنحنى وفوق المحور x مظللة باللون الأزرق. X-axis: x Y-axis: y