إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

168 الفصل 8 النهايات والاشتقاق

تعريف التكامل المحدد: ∫₀⁴ x² dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} f(xᵢ) Δx f(xᵢ) = xᵢ² = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} (xᵢ)² Δx xᵢ = 4i/n, Δx = 4/n = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} (4i/n)² (4/n) خصائص المجموع = lim_{n→∞} 4/n Σ_{i=1}^{n} (4i/n)² وزع القوة = lim_{n→∞} 4/n Σ_{i=1}^{n} 16i²/n² خصائص المجموع = lim_{n→∞} 4/n (16/n² Σ_{i=1}^{n} i²) Σ_{i=1}^{n} i² = n(n+1)(2n+1)/6 = lim_{n→∞} 4/n (16/n² · n(n+1)(2n+1)/6) اضرب ووزع = lim_{n→∞} 4/n (16n(2n²+3n+1)/6n²) اضرب = lim_{n→∞} 64n(2n²+3n+1)/6n³ اقسم = lim_{n→∞} 64(2n²+3n+1)/6n² حلل = lim_{n→∞} 64/6 (2n²+3n+1/n²) اقسم على n² = lim_{n→∞} 64/6 (2 + 3/n + 1/n²) خصائص النهايات = (lim_{n→∞} 64/6) [lim_{n→∞} 2 + (lim_{n→∞} 3)(lim_{n→∞} 1/n) + lim_{n→∞} 1/n²] = 64/6 [2 + 3(0) + 0] = 64/3 ≈ 21.33 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 21.33 وحدة مربعة تقريبًا.

النهايات: حلل كل مجموع بحيث تتضمن العبارات الباقية إما أعدادًا ثابتة أو i فقط، ثم طبق صيغة المجموع المناسبة.

تحقق من فهمك

استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

∫₀¹ 3x² dx (3A

∫₀³ x dx (3B

يمكننا أيضًا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة الأصل ليست حدًا أدنى لها.

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

168 الفصل 8 النهايات والاشتقاق تعريف التكامل المحدد: ∫₀⁴ x² dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} f(xᵢ) Δx f(xᵢ) = xᵢ² = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} (xᵢ)² Δx xᵢ = 4i/n, Δx = 4/n = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^{n} (4i/n)² (4/n) خصائص المجموع = lim_{n→∞} 4/n Σ_{i=1}^{n} (4i/n)² وزع القوة = lim_{n→∞} 4/n Σ_{i=1}^{n} 16i²/n² خصائص المجموع = lim_{n→∞} 4/n (16/n² Σ_{i=1}^{n} i²) Σ_{i=1}^{n} i² = n(n+1)(2n+1)/6 = lim_{n→∞} 4/n (16/n² · n(n+1)(2n+1)/6) اضرب ووزع = lim_{n→∞} 4/n (16n(2n²+3n+1)/6n²) اضرب = lim_{n→∞} 64n(2n²+3n+1)/6n³ اقسم = lim_{n→∞} 64(2n²+3n+1)/6n² حلل = lim_{n→∞} 64/6 (2n²+3n+1/n²) اقسم على n² = lim_{n→∞} 64/6 (2 + 3/n + 1/n²) خصائص النهايات = (lim_{n→∞} 64/6) [lim_{n→∞} 2 + (lim_{n→∞} 3)(lim_{n→∞} 1/n) + lim_{n→∞} 1/n²] = 64/6 [2 + 3(0) + 0] = 64/3 ≈ 21.33 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 21.33 وحدة مربعة تقريبًا. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- النهايات: حلل كل مجموع بحيث تتضمن العبارات الباقية إما أعدادًا ثابتة أو i فقط، ثم طبق صيغة المجموع المناسبة. تحقق من فهمك استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: --- SECTION: 3A --- ∫₀¹ 3x² dx (3A --- SECTION: 3B --- ∫₀³ x dx (3B يمكننا أيضًا حساب مساحات المناطق باستعمال النهايات حال كون نقطة الأصل ليست حدًا أدنى لها. وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447