تنبيه! - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 4

المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4x³ والمحور x، في الفترة [1, 3]؛ أي ∫₁³ 4x³ dx. ابدأ بإيجاد Δx، xᵢ.

صيغة Δx: Δx = (b - a) / n = (3 - 1) / n = 2/n صيغة xᵢ: xᵢ = a + iΔx = 1 + i(2/n) = 1 + 2i/n

احسب التكامل المحدد والذي يُعطي المساحة المطلوبة. ∫₁³ 4x³ dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(xᵢ)Δx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n 4(xᵢ)³Δx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n 4(1 + 2i/n)³ (2/n) = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)(1 + 2i/n)³ = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)[1 + 3(2i/n) + 3(2i/n)² + (2i/n)³] = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)(1 + 6i/n + 12i²/n² + 8i³/n³) = lim_{n→∞} (8/n)[Σ 1 + Σ 6i/n + Σ 12i²/n² + Σ 8i³/n³] = lim_{n→∞} (8/n)[Σ 1 + (6/n)Σ i + (12/n²)Σ i² + (8/n³)Σ i³] = lim_{n→∞} (8/n)[n + (6/n)(n(n+1)/2) + (12/n²)(n(n+1)(2n+1)/6) + (8/n³)(n²(n+1)²/4)] = lim_{n→∞} [8n/n + 48n(n+1)/(2n²) + 96n(2n²+3n+1)/(6n³) + 64n²(n²+2n+1)/(4n⁴)] = lim_{n→∞} [8 + 24(n+1)/n + 16(2n²+3n+1)/n² + 16(n²+2n+1)/n²] = lim_{n→∞} [8 + 24(1 + 1/n) + 16(2 + 3/n + 1/n²) + 16(1 + 2/n + 1/n²)] = lim_{n→∞} 8 + 24 lim_{n→∞}(1 + 1/n) + 16 lim_{n→∞}(2 + 3/n + 1/n²) + 16 lim_{n→∞}(1 + 2/n + 1/n²) = 8 + 24(1 + 0) + 16(2 + 0 + 0) + 16(1 + 0 + 0) = 80 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة.

النهايات: عند تقريب مساحة المنطقة تحت المنحنى باستعمال المجاميع، أوجد مجاميع قيم i قبل توزيع Δx أو أي ثوابت أخرى.

تحقق من فهمك

استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

الدرس 5-8 المساحة تحت المنحنى والتكامل 169 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445

مثال 4 المساحة تحت منحنى باستعمال التكامل استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4x³ والمحور x، في الفترة [1, 3]؛ أي ∫₁³ 4x³ dx. ابدأ بإيجاد Δx، xᵢ. صيغة Δx: Δx = (b - a) / n = (3 - 1) / n = 2/n صيغة xᵢ: xᵢ = a + iΔx = 1 + i(2/n) = 1 + 2i/n احسب التكامل المحدد والذي يُعطي المساحة المطلوبة. ∫₁³ 4x³ dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(xᵢ)Δx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n 4(xᵢ)³Δx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n 4(1 + 2i/n)³ (2/n) = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)(1 + 2i/n)³ = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)[1 + 3(2i/n) + 3(2i/n)² + (2i/n)³] = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (8/n)(1 + 6i/n + 12i²/n² + 8i³/n³) = lim_{n→∞} (8/n)[Σ 1 + Σ 6i/n + Σ 12i²/n² + Σ 8i³/n³] = lim_{n→∞} (8/n)[Σ 1 + (6/n)Σ i + (12/n²)Σ i² + (8/n³)Σ i³] = lim_{n→∞} (8/n)[n + (6/n)(n(n+1)/2) + (12/n²)(n(n+1)(2n+1)/6) + (8/n³)(n²(n+1)²/4)] = lim_{n→∞} [8n/n + 48n(n+1)/(2n²) + 96n(2n²+3n+1)/(6n³) + 64n²(n²+2n+1)/(4n⁴)] = lim_{n→∞} [8 + 24(n+1)/n + 16(2n²+3n+1)/n² + 16(n²+2n+1)/n²] = lim_{n→∞} [8 + 24(1 + 1/n) + 16(2 + 3/n + 1/n²) + 16(1 + 2/n + 1/n²)] = lim_{n→∞} 8 + 24 lim_{n→∞}(1 + 1/n) + 16 lim_{n→∞}(2 + 3/n + 1/n²) + 16 lim_{n→∞}(1 + 2/n + 1/n²) = 8 + 24(1 + 0) + 16(2 + 0 + 0) + 16(1 + 0 + 0) = 80 أي أن مساحة المنطقة المطلوبة هي 80 وحدة مربعة. --- SECTION: تنبيه! --- النهايات: عند تقريب مساحة المنطقة تحت المنحنى باستعمال المجاميع، أوجد مجاميع قيم i قبل توزيع Δx أو أي ثوابت أخرى. تحقق من فهمك --- SECTION: 4 --- استعمل النهايات؛ لإيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x والمعطاة بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: 4A. ∫₁³ x² dx 4B. ∫₂⁴ x³ dx الدرس 5-8 المساحة تحت المنحنى والتكامل 169 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: التمثيل البياني للدالة y = 4x³ Description: رسم بياني يوضح الدالة y = 4x³ في الربع الأول. المنطقة تحت المنحنى مظللة باللون الأزرق الفاتح بين x = 1 و x = 3. المحور الأفقي x مرقم من 0 إلى 4، والمحور الرأسي y مرقم من 0 إلى 100 مع علامات عند 50 و 100. X-axis: x Y-axis: y Context: يوضح الرسم المنطقة التي يتم حساب مساحتها باستخدام التكامل المحدد في المثال 4، حيث يمثل الجزء المظلل قيمة التكامل من 1 إلى 3.