الربط مع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 5 من واقع الحياة

بلاط: يكلف تبليط القدم المربعة الواحدة من فناء منزل بالجرانيت 22.4 ريالاً. إذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت، وكانت المساحة بالقدم المربعة لأي من الممرين تُعطى بالتكامل ∫₀¹⁰ (10 - 0.1x²) dx، فما تكلفة تبليط الممرين؟

ابدأ بإيجاد Δx ، xi : صيغة Δx ... Δx = (b - a) / n a = 0, b = 10 ... = (10 - 0) / n = 10/n صيغة xi ... xi = a + i Δx a = 0, Δx = 10/n ... = 0 + i(10/n) = 10i/n احسب التكامل المحدد والذي يعطي المساحة المطلوبة. تعريف التكامل المحدد ... ∫₀¹⁰ (10 - 0.1x²) dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(xi)Δx f(xi) = 10 - 0.1xi² ... = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (10 - 0.1xi²)Δx xi = 10i/n, Δx = 10/n ... = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n [10 - 0.1(10i/n)²] * (10/n) استعمل خصائص المجموع وبسط ... = lim_{n→∞} (10/n) Σ_{i=1}^n (10 - 10i²/n²) خصائص المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (Σ_{i=1}^n 10 - Σ_{i=1}^n 10i²/n²) خصائص المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (Σ_{i=1}^n 10 - (10/n²) Σ_{i=1}^n i²) صيغ المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (10n - (10/n²) * (n(n + 1)(2n + 1) / 6)) خاصية التوزيع ... = lim_{n→∞} (100n/n - (100n(2n² + 3n + 1) / 6n³)) اقسم على n ... = lim_{n→∞} (100 - (50(2n² + 3n + 1) / 3n²)) اقسم على n² ... = lim_{n→∞} [100 - (50/3)(2 + 3/n + 1/n²)] خصائص النهايات ... = lim_{n→∞} 100 - (50/3) lim_{n→∞} (2 + 3/n + 1/n²) بسط ... = 100 - (50/3)(2 + 0 + 0) = 66 2/3 ≈ 66.67 أي أن مساحة أي من الممرين تساوي 66.67 ft² تقريباً؛ لذا فإن تكلفة تبليط الممرين هي (2 × 66.67) × 22.4 ≈ 2986.8 ريالاً تقريباً.

الجرانيت: الجرانيت هو صخر ناري يتميز بنسيج خشن يكسبه مظهراً فريداً، وهو مقاوم لعوامل الأكسدة، لذلك يستعمل في تبليط الأرضيات.

تحقق من فهمك

5) طلاء: لدى عبد الله كمية من الطلاء تكفي لطلاء 30 ft²، هل تكفي هذه الكمية لطلاء جزأين من جدار مساحة كل منهما بالقدم المربعة تُعطى بالتكامل ∫₀⁵ (0.2x²) dx؟ برّر إجابتك.

170 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

مثال 5 من واقع الحياة --- SECTION: 5 --- بلاط: يكلف تبليط القدم المربعة الواحدة من فناء منزل بالجرانيت 22.4 ريالاً. إذا تم تبليط ممرين متطابقين في فناء المنزل بالجرانيت، وكانت المساحة بالقدم المربعة لأي من الممرين تُعطى بالتكامل ∫₀¹⁰ (10 - 0.1x²) dx، فما تكلفة تبليط الممرين؟ ابدأ بإيجاد Δx ، xi : صيغة Δx ... Δx = (b - a) / n a = 0, b = 10 ... = (10 - 0) / n = 10/n صيغة xi ... xi = a + i Δx a = 0, Δx = 10/n ... = 0 + i(10/n) = 10i/n احسب التكامل المحدد والذي يعطي المساحة المطلوبة. تعريف التكامل المحدد ... ∫₀¹⁰ (10 - 0.1x²) dx = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n f(xi)Δx f(xi) = 10 - 0.1xi² ... = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n (10 - 0.1xi²)Δx xi = 10i/n, Δx = 10/n ... = lim_{n→∞} Σ_{i=1}^n [10 - 0.1(10i/n)²] * (10/n) استعمل خصائص المجموع وبسط ... = lim_{n→∞} (10/n) Σ_{i=1}^n (10 - 10i²/n²) خصائص المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (Σ_{i=1}^n 10 - Σ_{i=1}^n 10i²/n²) خصائص المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (Σ_{i=1}^n 10 - (10/n²) Σ_{i=1}^n i²) صيغ المجموع ... = lim_{n→∞} (10/n) (10n - (10/n²) * (n(n + 1)(2n + 1) / 6)) خاصية التوزيع ... = lim_{n→∞} (100n/n - (100n(2n² + 3n + 1) / 6n³)) اقسم على n ... = lim_{n→∞} (100 - (50(2n² + 3n + 1) / 3n²)) اقسم على n² ... = lim_{n→∞} [100 - (50/3)(2 + 3/n + 1/n²)] خصائص النهايات ... = lim_{n→∞} 100 - (50/3) lim_{n→∞} (2 + 3/n + 1/n²) بسط ... = 100 - (50/3)(2 + 0 + 0) = 66 2/3 ≈ 66.67 أي أن مساحة أي من الممرين تساوي 66.67 ft² تقريباً؛ لذا فإن تكلفة تبليط الممرين هي (2 × 66.67) × 22.4 ≈ 2986.8 ريالاً تقريباً. --- SECTION: الربط مع الحياة --- الجرانيت: الجرانيت هو صخر ناري يتميز بنسيج خشن يكسبه مظهراً فريداً، وهو مقاوم لعوامل الأكسدة، لذلك يستعمل في تبليط الأرضيات. تحقق من فهمك --- SECTION: 5 --- 5) طلاء: لدى عبد الله كمية من الطلاء تكفي لطلاء 30 ft²، هل تكفي هذه الكمية لطلاء جزأين من جدار مساحة كل منهما بالقدم المربعة تُعطى بالتكامل ∫₀⁵ (0.2x²) dx؟ برّر إجابتك. 170 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: المساحة تحت منحنى Description: The graph shows the function f(x) = 10 - 0.1x² from x = 0 to x = 10. The area between the curve and the x-axis is shaded in light blue, representing the definite integral from 0 to 10. X-axis: x Y-axis: y **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية مقربة لسطح من الجرانيت توضح النسيج الخشن والألوان المتداخلة (الأبيض والرمادي والأسود). Context: توضيح المادة المستخدمة في مسألة واقع الحياة (تبليط الممرات بالجرانيت).