صفحة 172 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي:

26) ∫_{-3}^{-1} (-2x^2 - 7x) dx

27) ∫_{-2}^{0} (-x^3) dx

28) ∫_{-4}^{3} 2 dx

29) ∫_{-2}^{-1} (-1/2x + 3) dx

30) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين.

مسائل مهارات التفكير العليا

31) اكتشف الخطأ: سُئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات، فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات اليمنى، فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائمًا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين أجاب خالد: إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلات اليسرى تكون أكبر دائمًا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برِّر إجابتك.

32) تبرير: افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق يُعطى بالدالة f. اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال ∫_{0}^{d} f(x) dx، حيث d عرض النفق، إذا كان طوله معلومًا. برِّر إجابتك.

33) اكتب: اكتب ملخصًا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x على فترة معطاة.

34) تحدٍ: أوجد ∫_{0}^{t} (x^2 + 2) dx.

35) اكتب: وضح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. أي الشكلين يعطي تقريبًا أفضل برأيك؟

مراجعة تراكمية

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (الدرس 4-8)

36) j(x) = (2x^3 + 11x)(2x^8 - 12x^2)

37) f(k) = (k^{15} + k^2 + 2k)(k - 7k^2)

38) s(t) = (√t - 7)(3t^8 - 5t)

أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عندما x = 1: (الدرس 3-8)

39) y = x^3

40) y = x^3 - 7x^2 + 4x + 9

41) y = (x + 1)(x - 2)

أوجد كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): (الدرس 2-8)

42) lim_{x→0} (x^2 + 3x) / x

43) lim_{x→1} (x^2 - 3x + 2) / (x - 1)

44) lim_{x→3} (x^2 - 9) / (x^3 - 27)

تدريب على اختبار

45) ما مساحة المنطقة المحصورة بين y = -x^2 - 3x + 6 والمحور x، في الفترة [2, 6]؟

46) أي مما يأتي يمثِّل مشتقة n(a) = 4/a - 5/a^2 + 3/a^4 + 4a؟

47) ما قيمة lim_{x→3} (x^2 + 3x - 10) / (x^2 + 5x + 6)؟

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

استعمل النهايات لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى الدالة والمحور x، والمعطى بالتكامل المحدد في كل مما يأتي: --- SECTION: 26 --- 26) ∫_{-3}^{-1} (-2x^2 - 7x) dx --- SECTION: 27 --- 27) ∫_{-2}^{0} (-x^3) dx --- SECTION: 28 --- 28) ∫_{-4}^{3} 2 dx --- SECTION: 29 --- 29) ∫_{-2}^{-1} (-1/2x + 3) dx --- SECTION: 30 --- 30) تمثيلات متعددة: سوف تستقصي في هذه المسألة عملية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. a. بيانيًا: مثِّل منحنيي f(x) = -x^2 + 4, g(x) = x^2 في المستوى الإحداثي نفسه، وظلل المساحتين اللتين يمثلهما التكاملان ∫_{0}^{1} x^2 dx, ∫_{0}^{1} (-x^2 + 4) dx. b. تحليليًا: احسب ∫_{0}^{1} x^2 dx, ∫_{0}^{1} (-x^2 + 4) dx. c. لفظيًا: وضح لماذا تكون مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين مساوية لـ ∫_{0}^{1} (-x^2 + 4) dx - ∫_{0}^{1} x^2 dx. ثم احسب هذه القيمة باستعمال القيم التي أوجدتها في الفرع b. d. تحليليًا: أوجد (f(x) - g(x))، ثم احسب ∫_{0}^{1} [f(x) - g(x)] dx. e. لفظيًا: خمِّن طريقة إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين. مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 31 --- 31) اكتشف الخطأ: سُئل ماجد وخالد عن دقة تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات، فأجاب ماجد: إنه عند تقريب المساحة تحت منحنى باستعمال أطراف المستطيلات اليمنى، فإن المساحة الناتجة تكون أكبر دائمًا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. في حين أجاب خالد: إن المساحة المحسوبة باستعمال أطراف المستطيلات اليسرى تكون أكبر دائمًا من المساحة الحقيقية تحت المنحنى. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برِّر إجابتك. --- SECTION: 32 --- 32) تبرير: افترض أن المقطع الرأسي العرضي لنفق يُعطى بالدالة f. اشرح كيف يمكن حساب حجم النفق باستعمال ∫_{0}^{d} f(x) dx، حيث d عرض النفق، إذا كان طوله معلومًا. برِّر إجابتك. --- SECTION: 33 --- 33) اكتب: اكتب ملخصًا للخطوات المتبعة لتقريب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى دالة والمحور x على فترة معطاة. --- SECTION: 34 --- 34) تحدٍ: أوجد ∫_{0}^{t} (x^2 + 2) dx. --- SECTION: 35 --- 35) اكتب: وضح إمكانية استعمال المثلثات أو الدوائر في تقريب المساحة تحت المنحنيات. أي الشكلين يعطي تقريبًا أفضل برأيك؟ مراجعة تراكمية أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي: (الدرس 4-8) --- SECTION: 36 --- 36) j(x) = (2x^3 + 11x)(2x^8 - 12x^2) --- SECTION: 37 --- 37) f(k) = (k^{15} + k^2 + 2k)(k - 7k^2) --- SECTION: 38 --- 38) s(t) = (√t - 7)(3t^8 - 5t) أوجد ميل مماس منحنى كل دالة مما يأتي عندما x = 1: (الدرس 3-8) --- SECTION: 39 --- 39) y = x^3 --- SECTION: 40 --- 40) y = x^3 - 7x^2 + 4x + 9 --- SECTION: 41 --- 41) y = (x + 1)(x - 2) أوجد كل نهاية مما يأتي (إن وجدت): (الدرس 2-8) --- SECTION: 42 --- 42) lim_{x→0} (x^2 + 3x) / x --- SECTION: 43 --- 43) lim_{x→1} (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) --- SECTION: 44 --- 44) lim_{x→3} (x^2 - 9) / (x^3 - 27) تدريب على اختبار --- SECTION: 45 --- 45) ما مساحة المنطقة المحصورة بين y = -x^2 - 3x + 6 والمحور x، في الفترة [2, 6]؟ A 93.33 وحدة مربعة تقريبًا B 90 وحدة مربعة تقريبًا C 86.67 وحدة مربعة تقريبًا D 52 وحدة مربعة تقريبًا --- SECTION: 46 --- 46) أي مما يأتي يمثِّل مشتقة n(a) = 4/a - 5/a^2 + 3/a^4 + 4a؟ A n'(a) = 8a - 5a^2 + 3a^4 B n'(a) = 4a^2 - 5a^3 + 3a^4 + 4 C n'(a) = -4/a^2 + 5/a^3 + 3/a^5 + 4 D n'(a) = -4/a^2 + 10/a^3 - 12/a^5 + 4 --- SECTION: 47 --- 47) ما قيمة lim_{x→3} (x^2 + 3x - 10) / (x^2 + 5x + 6)؟ A 1/15 B 2/15 C 3/15 D 4/15 وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447