مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

متجهات الوحدة

يُسمّى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة، ويرمز له بالرمز u، ولإيجاد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه المتجه v، اقسم المتجه v على طوله |v|. u = v / |v| = (1 / |v|) * v وبذلك يكون v = |v|u. ونكون قد عبّرنا عن المتجه غير الصفري v في صورة حاصل ضرب متجه وحدة بنفس اتجاه v في عدد حقيقي.

إيجاد متجه وحدة له نفس الاتجاه لمتجه معطى أوجد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه v = <-2, 3>. الحل: u = (1 / |v|) * v (متجه وحدة باتجاه v) = (1 / |<-2, 3>|) * <-2, 3> (عوض) = (1 / sqrt((-2)^2 + 3^2)) * <-2, 3> (استخدم صيغة الطول) = (1 / sqrt(13)) * <-2, 3> (بسط) = <-2/sqrt(13), 3/sqrt(13)> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = <-2*sqrt(13)/13, 3*sqrt(13)/13> (أنطق المقام) التحقق: بما أن u تمثل حاصل ضرب v في عدد موجب فإن له اتجاه v نفسه. تحقق من أن طول u هو 1. |u| = sqrt((-2/sqrt(13))^2 + (3/sqrt(13))^2) = sqrt(4/13 + 9/13) = sqrt(1) = 1

أوجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه المعطى في كل مما يأتي:

ويليام روان هاميلتون (1805-1865) طوّر الرياضي الأيرلندي هاميلتون نظرية في نظام الأعداد؛ لتوسيع الأعداد المركبة، ونشر العديد من المحاضرات فيها. يُذكر أن العديد من المفاهيم الأساسية في تحليل المتجهات يعتمد على هذه النظرية.

متجه الوحدة i: لا تخلط بين متجه الوحدة i، والعدد التخيلي i، حيث يُكتب متجه الوحدة بخط داكن غير مائل i، بينما يُكتب العدد التخيلي بخط غير داكن مائل i.

يُرمز لمتجهي الوحدة بالاتجاه الموجب لمحور x، والاتجاه الموجب لمحور y بالرمزين i = <1, 0>, j = <0, 1> على الترتيب كما في الشكل 5.2.3. كما يُسمّى المتجهان i, j متجهي الوحدة القياسيين.

ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن أي متجه v = <a, b> على الصورة v = ai + bj كما في الشكل 5.2.4؛ وذلك لأن: v = <a, b> (الصورة الإحداثية) = <a, 0> + <0, b> (أعد كتابة المتجه على صورة ناتج جمع متجهين) = a<1, 0> + b<0, 1> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = ai + bj (حيث i = <1, 0>, j = <0, 1>)

متجهات الوحدة يُسمّى المتجه الذي طوله 1 متجه الوحدة، ويرمز له بالرمز u، ولإيجاد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه المتجه v، اقسم المتجه v على طوله |v|. u = v / |v| = (1 / |v|) * v وبذلك يكون v = |v|u. ونكون قد عبّرنا عن المتجه غير الصفري v في صورة حاصل ضرب متجه وحدة بنفس اتجاه v في عدد حقيقي. --- SECTION: مثال 4 --- إيجاد متجه وحدة له نفس الاتجاه لمتجه معطى أوجد متجه الوحدة u الذي له نفس اتجاه v = <-2, 3>. الحل: u = (1 / |v|) * v (متجه وحدة باتجاه v) = (1 / |<-2, 3>|) * <-2, 3> (عوض) = (1 / sqrt((-2)^2 + 3^2)) * <-2, 3> (استخدم صيغة الطول) = (1 / sqrt(13)) * <-2, 3> (بسط) = <-2/sqrt(13), 3/sqrt(13)> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = <-2*sqrt(13)/13, 3*sqrt(13)/13> (أنطق المقام) التحقق: بما أن u تمثل حاصل ضرب v في عدد موجب فإن له اتجاه v نفسه. تحقق من أن طول u هو 1. |u| = sqrt((-2/sqrt(13))^2 + (3/sqrt(13))^2) = sqrt(4/13 + 9/13) = sqrt(1) = 1 --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه المتجه المعطى في كل مما يأتي: 4A. w = <6, -2> 4B. x = <-4, -8> --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- ويليام روان هاميلتون (1805-1865) طوّر الرياضي الأيرلندي هاميلتون نظرية في نظام الأعداد؛ لتوسيع الأعداد المركبة، ونشر العديد من المحاضرات فيها. يُذكر أن العديد من المفاهيم الأساسية في تحليل المتجهات يعتمد على هذه النظرية. --- SECTION: تنبيه! --- متجه الوحدة i: لا تخلط بين متجه الوحدة i، والعدد التخيلي i، حيث يُكتب متجه الوحدة بخط داكن غير مائل i، بينما يُكتب العدد التخيلي بخط غير داكن مائل i. يُرمز لمتجهي الوحدة بالاتجاه الموجب لمحور x، والاتجاه الموجب لمحور y بالرمزين i = <1, 0>, j = <0, 1> على الترتيب كما في الشكل 5.2.3. كما يُسمّى المتجهان i, j متجهي الوحدة القياسيين. ويمكن استعمال هذين المتجهين للتعبير عن أي متجه v = <a, b> على الصورة v = ai + bj كما في الشكل 5.2.4؛ وذلك لأن: v = <a, b> (الصورة الإحداثية) = <a, 0> + <0, b> (أعد كتابة المتجه على صورة ناتج جمع متجهين) = a<1, 0> + b<0, 1> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = ai + bj (حيث i = <1, 0>, j = <0, 1>) --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة شخصية (بورتريه) للعالم الرياضي ويليام روان هاميلتون. Context: إثراء تاريخي حول تطور علم المتجهات. **GRAPH**: متجهي الوحدة القياسيين Description: رسم بياني يوضح متجهي الوحدة القياسيين i و j. المتجه i يبدأ من نقطة الأصل (0,0) وينتهي عند (1,0) على محور x. المتجه j يبدأ من نقطة الأصل (0,0) وينتهي عند (0,1) على محور y. X-axis: x Y-axis: y Context: تعريف بصري لمتجهي الوحدة القياسيين i و j. **GRAPH**: التعبير عن المتجه بدلالة i, j Description: رسم بياني يوضح المتجه v = <a, b> كتركيبة خطية من متجهي الوحدة i و j. يظهر المتجه v منطلقاً من الأصل إلى النقطة (a, b). المركبة الأفقية هي المتجه ai على طول محور x، والمركبة الرأسية هي المتجه bj موازياً لمحور y. X-axis: x Y-axis: y Context: توضيح كيفية كتابة المتجه في صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة القياسيين.