فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

8-6

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل The Fundamental Theorem of Calculus

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

درستُ استعمال النهايات لتقريب المساحة تحت منحنى دالة. (الدرس 5-8)

• أجد دوال أصلية. • أستعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لأجد التكامل المحدد.

الدالة الأصلية antiderivative التكامل غير المحدد indefinite integral النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل Fundamental Theorem of Calculus

سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادًا، فهوى نحو الأرض. إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية تُعطى بـ v(t) = -32t، فمن الممكن إيجاد الارتفاع الذي سقط منه القلم.

تعلمت في الدرسين 3-8 و 4-8، أنه إذا أُعطيت موقع جسم بـ f(x) = x² + 2x، فإن العبارة التي تمثل سرعة الجسم هي مشتقة f(x) أو f'(x) = 2x + 2، لكن إذا أُعطيت عبارة تمثل السرعة، وطلب إليك إيجاد صيغة المسافة التي تم إيجاد السرعة منها، فلا بد من وجود طريقة للعمل عكسيًا والعودة إلى الدالة الأصلية وإلغاء الاشتقاق. وبمعنى آخر، فإننا نبحث عن F(x)، بحيث إن F'(x) = f(x). وتُسمّى F(x) دالة أصلية للدالة f.

إيجاد الدوال الأصلية أوجد دالة أصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 3x² لنبحث عن دالة مشتقتها 3x². تذكر أن قوة x في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة x في الدالة. وعليه فإن قوة المتغير x في F(x) ستكون 3، وبما أن معامل x في مشتقة الدالة يساوي قوة x في الدالة، فإن F(x) = x³ تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة x³ هي 3x³⁻¹ أو 3x². إن x³ ليست الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب، فمثلاً G(x) = x³ + 10 تحقق المطلوب أيضًا؛ لأن G'(x) = 3x³⁻¹ + 0 = 3x²، وكذلك H(x) = x³ - 37 تحقق المطلوب. b) f(x) = -8/x⁹ أعد كتابة f(x) بقوى سالبة لتحصل على f(x) = -8x⁻⁹، وبما أن قوة x في مشتقة الدالة أقل بواحد من قوة x في الدالة، فإن قوة x في F(x) ستكون -8، وعليه تكون F(x) = x⁻⁸ دالة أصلية للدالة f، فمشتقة x⁻⁸ هي -8x⁻⁸⁻¹ = -8x⁻⁹. لاحظ أن كلاً من G(x) = x⁻⁸ + 3، H(x) = x⁻⁸ - 12 تمثل دالة أصلية للدالة f.

أوجد دالتين أصليتين مختلفتين لكل دالة مما يأتي:

في المثال 1 لاحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدالة أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى، وبشكل عام فإن إضافة أو طرح ثابت C لدالة أصلية يُنتج دالة أصلية أخرى؛ لأن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددًا لانهائيًا من الدوال الأصلية لأي دالة. والشكل العام للدالة الأصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت C.

الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 173

8-6 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل The Fundamental Theorem of Calculus رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درستُ استعمال النهايات لتقريب المساحة تحت منحنى دالة. (الدرس 5-8) --- SECTION: والآن --- • أجد دوال أصلية. • أستعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لأجد التكامل المحدد. --- SECTION: المفردات --- الدالة الأصلية antiderivative التكامل غير المحدد indefinite integral النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل Fundamental Theorem of Calculus --- SECTION: لماذا؟ --- سقط قلم من جيب علي في أثناء ركوبه منطادًا، فهوى نحو الأرض. إذا كانت سرعة سقوط القلم المتجهة بالقدم لكل ثانية تُعطى بـ v(t) = -32t، فمن الممكن إيجاد الارتفاع الذي سقط منه القلم. --- SECTION: الدوال الأصلية والتكامل غير المحدد --- تعلمت في الدرسين 3-8 و 4-8، أنه إذا أُعطيت موقع جسم بـ f(x) = x² + 2x، فإن العبارة التي تمثل سرعة الجسم هي مشتقة f(x) أو f'(x) = 2x + 2، لكن إذا أُعطيت عبارة تمثل السرعة، وطلب إليك إيجاد صيغة المسافة التي تم إيجاد السرعة منها، فلا بد من وجود طريقة للعمل عكسيًا والعودة إلى الدالة الأصلية وإلغاء الاشتقاق. وبمعنى آخر، فإننا نبحث عن F(x)، بحيث إن F'(x) = f(x). وتُسمّى F(x) دالة أصلية للدالة f. --- SECTION: مثال 1 --- إيجاد الدوال الأصلية أوجد دالة أصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 3x² لنبحث عن دالة مشتقتها 3x². تذكر أن قوة x في مشتقة دالة القوة أقل بواحد من قوة x في الدالة. وعليه فإن قوة المتغير x في F(x) ستكون 3، وبما أن معامل x في مشتقة الدالة يساوي قوة x في الدالة، فإن F(x) = x³ تحقق المطلوب. حيث إن مشتقة x³ هي 3x³⁻¹ أو 3x². إن x³ ليست الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب، فمثلاً G(x) = x³ + 10 تحقق المطلوب أيضًا؛ لأن G'(x) = 3x³⁻¹ + 0 = 3x²، وكذلك H(x) = x³ - 37 تحقق المطلوب. b) f(x) = -8/x⁹ أعد كتابة f(x) بقوى سالبة لتحصل على f(x) = -8x⁻⁹، وبما أن قوة x في مشتقة الدالة أقل بواحد من قوة x في الدالة، فإن قوة x في F(x) ستكون -8، وعليه تكون F(x) = x⁻⁸ دالة أصلية للدالة f، فمشتقة x⁻⁸ هي -8x⁻⁸⁻¹ = -8x⁻⁹. لاحظ أن كلاً من G(x) = x⁻⁸ + 3، H(x) = x⁻⁸ - 12 تمثل دالة أصلية للدالة f. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد دالتين أصليتين مختلفتين لكل دالة مما يأتي: 1A. 2x 1B. -3x⁻⁴ في المثال 1 لاحظ أن إضافة أو طرح ثابت لدالة أصلية ينتج عنه دالة أصلية أخرى، وبشكل عام فإن إضافة أو طرح ثابت C لدالة أصلية يُنتج دالة أصلية أخرى؛ لأن مشتقة الثابت صفر. وعليه فإن هناك عددًا لانهائيًا من الدوال الأصلية لأي دالة. والشكل العام للدالة الأصلية هو الشكل الذي يحوي الثابت C. الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 173 --- VISUAL CONTEXT --- **QR_CODE**: Untitled Description: QR code linking to digital resources on the ien.edu.sa portal. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of two colorful hot air balloons floating in a clear blue sky. The primary balloon has vertical stripes of red, yellow, and blue. A smaller balloon with similar colors is visible in the background. This image illustrates the 'Why?' section problem about an object falling from a balloon.