مفهوم أساسي: قواعد الدالة الأصلية - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

كما في المشتقات، فإن هناك قواعد لإيجاد الدالة الأصلية.

قاعدة القوة: إذا كان f(x) = x^n ، حيث n عدد نسبي لا يساوي -1، فإن: F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C. قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: إذا كان f(x) = kx^n ، حيث n عدد نسبي لا يساوي -1، و k عدداً ثابتاً، فإن: F(x) = (kx^(n+1))/(n+1) + C. قاعدة المجموع والفرق: إذا كان لـ f(x), g(x) دالتان أصليتان هما F(x), G(x) على الترتيب، فإن: F(x) ± G(x) دالة أصلية لـ f(x) ± g(x).

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 4x^7 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = 4x^7 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = (4x^(7+1))/(7+1) + C بسط: = (1/2)x^8 + C b) f(x) = 2/x^4 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = 2/x^4 أعد كتابة الدالة بقوة سالبة: = 2x^-4 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = (2x^(-4+1))/(-4+1) + C بسط: = -(2/3)x^-3 + C = -2/(3x^3) + C c) f(x) = x^2 - 8x + 5 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = x^2 - 8x + 5 أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x: = x^2 - 8x^1 + 5x^0 قواعد الدالة الأصلية: F(x) = (x^(2+1))/(2+1) - (8x^(1+1))/(1+1) + (5x^(0+1))/(0+1) + C بسط: = (1/3)x^3 - 4x^2 + 5x + C

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي:

يُعطى الشكل العام للدالة الأصلية باسم ورمز خاصين.

يُعطى التكامل غير المحدد للدالة f بالصيغة ∫ f(x) dx = F(x) + C ، حيث F(x) دالة أصلية لـ f(x) ، و C ثابت.

الدوال الأصلية: F(x) = kx هي دالة أصلية لـ f(x) = k ، فمثلاً، إذا كان f(x) = 3 ، فإن F(x) = 3x .

التكامل غير المحدد: سبب تسمية التكامل غير المحدد بهذا الاسم أنه لا يُعبر عن دالة محددة، بل عن عدد لا نهائي من الدوال الأصلية.

174 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

كما في المشتقات، فإن هناك قواعد لإيجاد الدالة الأصلية. --- SECTION: مفهوم أساسي: قواعد الدالة الأصلية --- قاعدة القوة: إذا كان f(x) = x^n ، حيث n عدد نسبي لا يساوي -1، فإن: F(x) = (x^(n+1))/(n+1) + C. قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: إذا كان f(x) = kx^n ، حيث n عدد نسبي لا يساوي -1، و k عدداً ثابتاً، فإن: F(x) = (kx^(n+1))/(n+1) + C. قاعدة المجموع والفرق: إذا كان لـ f(x), g(x) دالتان أصليتان هما F(x), G(x) على الترتيب، فإن: F(x) ± G(x) دالة أصلية لـ f(x) ± g(x). --- SECTION: مثال 2: قواعد الدوال الأصلية --- أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: a) f(x) = 4x^7 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = 4x^7 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = (4x^(7+1))/(7+1) + C بسط: = (1/2)x^8 + C b) f(x) = 2/x^4 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = 2/x^4 أعد كتابة الدالة بقوة سالبة: = 2x^-4 قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت: F(x) = (2x^(-4+1))/(-4+1) + C بسط: = -(2/3)x^-3 + C = -2/(3x^3) + C c) f(x) = x^2 - 8x + 5 الحل: الدالة المعطاة: f(x) = x^2 - 8x + 5 أعد كتابة الدالة بدلالة قوى x: = x^2 - 8x^1 + 5x^0 قواعد الدالة الأصلية: F(x) = (x^(2+1))/(2+1) - (8x^(1+1))/(1+1) + (5x^(0+1))/(0+1) + C بسط: = (1/3)x^3 - 4x^2 + 5x + C --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: 2A. f(x) = 6x^4 2B. f(x) = 10/x^3 2C. f(x) = 8x^7 + 6x + 2 يُعطى الشكل العام للدالة الأصلية باسم ورمز خاصين. --- SECTION: مفهوم أساسي: التكامل غير المحدد --- يُعطى التكامل غير المحدد للدالة f بالصيغة ∫ f(x) dx = F(x) + C ، حيث F(x) دالة أصلية لـ f(x) ، و C ثابت. --- SECTION: إرشادات للدراسة: الدوال الأصلية --- الدوال الأصلية: F(x) = kx هي دالة أصلية لـ f(x) = k ، فمثلاً، إذا كان f(x) = 3 ، فإن F(x) = 3x . --- SECTION: ربط المفردات: التكامل غير المحدد --- التكامل غير المحدد: سبب تسمية التكامل غير المحدد بهذا الاسم أنه لا يُعبر عن دالة محددة، بل عن عدد لا نهائي من الدوال الأصلية. 174 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يحتوي على القواعد الأساسية لإيجاد الدوال الأصلية: قاعدة القوة، قاعدة ضرب دالة القوة في ثابت، وقاعدة المجموع والفرق. Context: يوفر القوانين الرياضية اللازمة لحل مسائل التكامل الأساسية. **FIGURE**: Untitled Description: إطار أزرق يوضح تعريف ورمز التكامل غير المحدد وعلاقته بالدالة الأصلية وثابت التكامل C. Context: يعرف الطالب بالترميز الرسمي لعملية إيجاد الدالة الأصلية. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق جانبي بلون أخضر فاتح يحتوي على ملاحظة تعليمية حول تكامل الثابت. Context: توضيح حالة خاصة من قواعد التكامل لتبسيط الفهم. **FIGURE**: Untitled Description: صندوق جانبي بلون برتقالي فاتح يوضح المعنى اللغوي والرياضي لمصطلح 'التكامل غير المحدد'. Context: تعزيز الفهم المفاهيمي للمصطلحات الرياضية.