مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 3 من واقع الحياة ... التكامل غير المحدد

فيزياء: أجرى طلاب الصف الثالث الثانوي في إحدى المدارس الثانوية تجربة فيزيائية تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل التي ترتفع عن سطح الأرض بـ 30 ft، وتمثل v(t) = -32t سرعة الكرة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها.

لإيجاد دالة الموقع، أوجد الدالة الأصلية لـ v(t). s(t) = ∫ v(t) dt ... العلاقة بين الموقع والسرعة المتجهة = ∫ -32t dt ... v(t) = -32t = - (32t^(1+1) / (1+1)) + C ... قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت = -16t^2 + C ... بسط أوجد C بتعويض 30 ft للارتفاع الابتدائي، 0s للزمن الابتدائي. s(t) = -16t^2 + C ... الدالة الأصلية لـ v(t) 30 = -16(0)^2 + C ... s(t) = 30, t = 0 30 = C ... بسط أي أن دالة موقع الكرة هي s(t) = -16t^2 + 30. حل المعادلة 0 = s(t). s(t) = -16t^2 + 30 ... دالة موقع الكرة 0 = -16t^2 + 30 ... s(t) = 0 -30 = -16t^2 ... اطرح 30 من كلا الطرفين 1.875 ≈ t^2 ... اقسم كلا الطرفين على -16 1.369 ≈ t ... خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين أي أن الكرة ستستغرق 1.369s تقريبًا حتى تصل إلى سطح الأرض.

السقوط الحر قبل أربعمائة عام تقريبًا، استنتج جاليليو جاليلي أن لجميع الأجسام التي تسقط سقوطًا حرًا التسارع نفسه، بإهمال تأثير الهواء، وأن هذا التسارع لا يتأثر بأي من مادة الجسم الساقط أو وزنه أو الارتفاع الذي سقط منه.

تحقق من فهمك 3) سقوط حر: عند قيام فني بإصلاح نافذة برج على ارتفاع 120 ft سقطت محفظته نحو الأرض، وتمثل v(t) = -32t سرعة المحفظة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها.

النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

لاحظ أن الرمز المستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبيهًا بالرمز الذي استعمل للتكامل المحدد في الدرس 5-4، إذ إن الفرق الوحيد هو عدم ظهور حدي التكامل الأعلى والأدنى في رمز التكامل غير المحدد. إن إيجاد الدالة الأصلية لدالة ما: هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان. وهذه العلاقة بين التكاملات المحددة والدوال الأصلية ذات أهمية كبيرة، وتُسمى النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل.

إذا كانت F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة f(x)، فإن ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a) ويمكن التعبير عن الطرف الأيمن من هذه العبارة بالرمز F(x) |[a to b].

الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ... 175

مثال 3 من واقع الحياة ... التكامل غير المحدد --- SECTION: مثال 3 --- فيزياء: أجرى طلاب الصف الثالث الثانوي في إحدى المدارس الثانوية تجربة فيزيائية تتضمن إسقاط كرة من نافذة الفصل التي ترتفع عن سطح الأرض بـ 30 ft، وتمثل v(t) = -32t سرعة الكرة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. a. أوجد دالة موقع الكرة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. b. أوجد الزمن الذي تستغرقه الكرة حتى تصل إلى سطح الأرض. لإيجاد دالة الموقع، أوجد الدالة الأصلية لـ v(t). s(t) = ∫ v(t) dt ... العلاقة بين الموقع والسرعة المتجهة = ∫ -32t dt ... v(t) = -32t = - (32t^(1+1) / (1+1)) + C ... قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت = -16t^2 + C ... بسط أوجد C بتعويض 30 ft للارتفاع الابتدائي، 0s للزمن الابتدائي. s(t) = -16t^2 + C ... الدالة الأصلية لـ v(t) 30 = -16(0)^2 + C ... s(t) = 30, t = 0 30 = C ... بسط أي أن دالة موقع الكرة هي s(t) = -16t^2 + 30. حل المعادلة 0 = s(t). s(t) = -16t^2 + 30 ... دالة موقع الكرة 0 = -16t^2 + 30 ... s(t) = 0 -30 = -16t^2 ... اطرح 30 من كلا الطرفين 1.875 ≈ t^2 ... اقسم كلا الطرفين على -16 1.369 ≈ t ... خذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين أي أن الكرة ستستغرق 1.369s تقريبًا حتى تصل إلى سطح الأرض. --- SECTION: الربط مع الحياة --- السقوط الحر قبل أربعمائة عام تقريبًا، استنتج جاليليو جاليلي أن لجميع الأجسام التي تسقط سقوطًا حرًا التسارع نفسه، بإهمال تأثير الهواء، وأن هذا التسارع لا يتأثر بأي من مادة الجسم الساقط أو وزنه أو الارتفاع الذي سقط منه. --- SECTION: 3 --- تحقق من فهمك 3) سقوط حر: عند قيام فني بإصلاح نافذة برج على ارتفاع 120 ft سقطت محفظته نحو الأرض، وتمثل v(t) = -32t سرعة المحفظة المتجهة اللحظية بالأقدام بعد t ثانية من سقوطها. A. أوجد دالة موقع المحفظة s(t) بعد t ثانية من سقوطها. B. أوجد الزمن الذي تستغرقه المحفظة حتى تصل إلى سطح الأرض. النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لاحظ أن الرمز المستعمل للتكامل غير المحدد يبدو شبيهًا بالرمز الذي استعمل للتكامل المحدد في الدرس 5-4، إذ إن الفرق الوحيد هو عدم ظهور حدي التكامل الأعلى والأدنى في رمز التكامل غير المحدد. إن إيجاد الدالة الأصلية لدالة ما: هو طريقة مختصرة لحساب التكامل المحدد للدالة نفسها باستعمال مجموع ريمان. وهذه العلاقة بين التكاملات المحددة والدوال الأصلية ذات أهمية كبيرة، وتُسمى النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل. --- SECTION: مفهوم أساسي: النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل --- إذا كانت F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة f(x)، فإن ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a) ويمكن التعبير عن الطرف الأيمن من هذه العبارة بالرمز F(x) |[a to b]. الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل ... 175 --- VISUAL CONTEXT --- **FIGURE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية تظهر شاباً يطل من نافذة أو شرفة مرتفعة، مع وجود مقبس كهربائي على الجدار أسفله، مما يوحي بارتفاع المكان، وذلك لتمثيل سياق مسألة السقوط الحر في المثال 3. Context: توفير سياق بصري لمسألة فيزيائية حول سقوط الأجسام من ارتفاع معين. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: مفهوم أساسي | النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل Rows: Row 1: إذا كانت F(x) دالة أصلية للدالة المتصلة f(x)، فإن | ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a) Row 2: ويمكن التعبير عن الطرف الأيمن من هذه العبارة بالرمز | F(x) |[a to b] Context: عرض القاعدة الرياضية الأساسية لحساب التكامل المحدد باستخدام الدوال الأصلية.