مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

من نتائج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكاملات والمشتقات، فالتكامل هو عملية إيجاد دوال أصلية، في حين أن الاشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات. لذا فإن عمليتي التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان، ويمكننا استعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة دون الحاجة إلى استعمال النهايات.

مثال 4 المساحة تحت منحنى

استعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي والمحور x على الفترة المعطاة:

a) y = 4x³ على الفترة [1, 3]؛ أي ∫₁³ 4x³ dx . أولاً: أوجد الدالة الأصلية. ∫ 4x³ dx = (4x³⁺¹) / (3 + 1) + C = x⁴ + C الآن: احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، ثم أوجد الفرق. ∫₁³ 4x³ dx = x⁴ + C |₁³ = ((3)⁴ + C) - ((1)⁴ + C) = 81 - 1 = 80 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4x³ والمحور x على الفترة [1, 3] هي 80 وحدة مربعة.

b) y = -x² + 4x + 6 على الفترة [0, 4]؛ أي ∫₀⁴ (-x² + 4x + 6) dx . أولاً: أوجد الدالة الأصلية. ∫ (-x² + 4x + 6) dx = - (x²⁺¹) / (2 + 1) + (4x¹⁺¹) / (1 + 1) + (6x⁰⁺¹) / (0 + 1) + C = - (x³) / 3 + 2x² + 6x + C الآن: احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، ثم أوجد الفرق. ∫₀⁴ (-x² + 4x + 6) dx = - (x³) / 3 + 2x² + 6x + C |₀⁴ = (- (4)³ / 3 + 2(4)² + 6(4) + C) - (- (0)³ / 3 + 2(0)² + 6(0) + C) ≈ 34.67 - 0 ≈ 34.67 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = -x² + 4x + 6 والمحور x على الفترة [0, 4] هي 34.67 وحدة مربعة تقريبًا.

ماريا أجنسي (1718-1799) عالمة إيطالية برعت في اللغات والفلسفة والرياضيات، ويُعد كتابها Analytical Institutions أول كتاب ناقش حسابي التفاضل والتكامل معًا.

تحقق من فهمك

احسب كل تكامل محدد مما يأتي: 4A) ∫₂⁵ 3x² dx

4B) ∫₁² (16x³ - 6x²) dx

لاحظ أنه عند حساب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، وحساب الفرق بين القيمتين، فإن C لن تظهر في الناتج؛ وذلك لأن C موجودة في كلتا الدالتين الأصليتين، فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفرًا. لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C، وعدم كتابته في الدالة الأصلية.

176 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

من نتائج النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل أنها ربطت بين التكاملات والمشتقات، فالتكامل هو عملية إيجاد دوال أصلية، في حين أن الاشتقاق هو عملية إيجاد مشتقات. لذا فإن عمليتي التكامل والاشتقاق هما عمليتان عكسيتان، ويمكننا استعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب التكاملات المحددة دون الحاجة إلى استعمال النهايات. --- SECTION: مثال 4 --- مثال 4 المساحة تحت منحنى استعمل النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى كل دالة مما يأتي والمحور x على الفترة المعطاة: --- SECTION: 4a --- a) y = 4x³ على الفترة [1, 3]؛ أي ∫₁³ 4x³ dx . أولاً: أوجد الدالة الأصلية. ∫ 4x³ dx = (4x³⁺¹) / (3 + 1) + C = x⁴ + C الآن: احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، ثم أوجد الفرق. ∫₁³ 4x³ dx = x⁴ + C |₁³ = ((3)⁴ + C) - ((1)⁴ + C) = 81 - 1 = 80 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = 4x³ والمحور x على الفترة [1, 3] هي 80 وحدة مربعة. --- SECTION: 4b --- b) y = -x² + 4x + 6 على الفترة [0, 4]؛ أي ∫₀⁴ (-x² + 4x + 6) dx . أولاً: أوجد الدالة الأصلية. ∫ (-x² + 4x + 6) dx = - (x²⁺¹) / (2 + 1) + (4x¹⁺¹) / (1 + 1) + (6x⁰⁺¹) / (0 + 1) + C = - (x³) / 3 + 2x² + 6x + C الآن: احسب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، ثم أوجد الفرق. ∫₀⁴ (-x² + 4x + 6) dx = - (x³) / 3 + 2x² + 6x + C |₀⁴ = (- (4)³ / 3 + 2(4)² + 6(4) + C) - (- (0)³ / 3 + 2(0)² + 6(0) + C) ≈ 34.67 - 0 ≈ 34.67 أي أن مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى y = -x² + 4x + 6 والمحور x على الفترة [0, 4] هي 34.67 وحدة مربعة تقريبًا. --- SECTION: تاريخ الرياضيات --- ماريا أجنسي (1718-1799) عالمة إيطالية برعت في اللغات والفلسفة والرياضيات، ويُعد كتابها Analytical Institutions أول كتاب ناقش حسابي التفاضل والتكامل معًا. تحقق من فهمك --- SECTION: 4A --- احسب كل تكامل محدد مما يأتي: 4A) ∫₂⁵ 3x² dx --- SECTION: 4B --- 4B) ∫₁² (16x³ - 6x²) dx لاحظ أنه عند حساب قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى للتكامل، وحساب الفرق بين القيمتين، فإن C لن تظهر في الناتج؛ وذلك لأن C موجودة في كلتا الدالتين الأصليتين، فإن الفرق بين قيمتي C يساوي صفرًا. لذا فإنه لحساب تكامل محدد باستعمال النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل يمكنك إهمال الثابت C، وعدم كتابته في الدالة الأصلية. 176 الفصل 8 النهايات والاشتقاق وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph of y = 4x³ showing a shaded region under the curve between x = 1 and x = 3. The y-axis is scaled in increments of 50, and the x-axis in increments of 1. The shaded area represents the definite integral from 1 to 3. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph of y = -x² + 4x + 6 showing a shaded region under the curve between x = 0 and x = 4. The y-axis is scaled in increments of 2, and the x-axis in increments of 1. The shaded area represents the definite integral from 0 to 4. X-axis: x Y-axis: y **IMAGE**: Untitled Description: An illustration of an old piece of parchment paper with a quill pen resting in an inkwell, symbolizing historical mathematical writings.