مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

قبل حساب التكامل حدّد ما إذا كان محددًا أو غير محدد.

التكاملات المحددة وغير المحددة احسب كل تكامل مما يأتي: (a) ∫(9x - x³) dx هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة الأصلية لحسابه. ∫(9x - x³) dx = (9x¹⁺¹ / 1+1) - (x³⁺¹ / 3+1) + C ... قواعد الدالة الأصلية = (9/2)x² - (x⁴/4) + C ... بسّط (b) ∫₂³ (9x - x³) dx هذا تكامل محدد. احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. ∫₂³ (9x - x³) dx = [(9/2)x² - (x⁴/4)] |₂³ ... النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل = [(9/2)(3)² - (3⁴/4)] - [(9/2)(2)² - (2⁴/4)] ... a = 2, b = 3 = 20.25 - 14 = 6.25 ... بسّط

التكاملات صحيح أنه يمكن تجاهل الثابت C عند حساب التكامل المحدد، إلا أنه يجب أخذه بعين الاعتبار عند حساب التكامل غير المحدد؛ لأنه جزء من الدالة الأصلية.

احسب كل تكامل مما يأتي:

لاحظ أن التكامل غير المحدد يعطي الدالة الأصلية، في حين لا يعطي التكامل المحدد الدالة الأصلية بصورة صريحة، بل هو الفرق بين قيمتي الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. أي أن التكامل غير المحدد يعطي دالة، وهي الدالة الأصلية، ويمكن استعمالها لإيجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدين أعلى وأدنى؛ ليصبح التكامل عندها محددًا.

التكاملات المحددة يُعطى الشغل اللازم لشد نابض ما مسافة 0.5m من موضعه الطبيعي بالتكامل ∫₀⁰·⁵ 360x dx. ما قيمة الشغل اللازم لشد النابض مقيسًا بوحدة الجول؟ احسب قيمة التكامل المحدد. ∫₀⁰·⁵ 360x dx = 180x² |₀⁰·⁵ ... قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت، والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل = 180(0.5)² - 180(0)² ... a = 0, b = 0.5 = 45 - 0 = 45 ... بسّط أي أن الشغل اللازم هو 45J.

أوجد الشغل اللازم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يأتي:

الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل

177

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447

قبل حساب التكامل حدّد ما إذا كان محددًا أو غير محدد. --- SECTION: مثال 5 --- التكاملات المحددة وغير المحددة احسب كل تكامل مما يأتي: (a) ∫(9x - x³) dx هذا تكامل غير محدد. استعمل قواعد الدالة الأصلية لحسابه. ∫(9x - x³) dx = (9x¹⁺¹ / 1+1) - (x³⁺¹ / 3+1) + C ... قواعد الدالة الأصلية = (9/2)x² - (x⁴/4) + C ... بسّط (b) ∫₂³ (9x - x³) dx هذا تكامل محدد. احسب قيمة التكامل باستعمال قيمة الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. ∫₂³ (9x - x³) dx = [(9/2)x² - (x⁴/4)] |₂³ ... النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل = [(9/2)(3)² - (3⁴/4)] - [(9/2)(2)² - (2⁴/4)] ... a = 2, b = 3 = 20.25 - 14 = 6.25 ... بسّط --- SECTION: تنبيه! --- التكاملات صحيح أنه يمكن تجاهل الثابت C عند حساب التكامل المحدد، إلا أنه يجب أخذه بعين الاعتبار عند حساب التكامل غير المحدد؛ لأنه جزء من الدالة الأصلية. --- SECTION: تحقق من فهمك --- احسب كل تكامل مما يأتي: 5A. ∫(6x² + 8x - 3) dx 5B. ∫₁³ (-x⁴ + 8x³ - 24x² + 30x - 4) dx لاحظ أن التكامل غير المحدد يعطي الدالة الأصلية، في حين لا يعطي التكامل المحدد الدالة الأصلية بصورة صريحة، بل هو الفرق بين قيمتي الدالة الأصلية عند الحدين الأعلى والأدنى. أي أن التكامل غير المحدد يعطي دالة، وهي الدالة الأصلية، ويمكن استعمالها لإيجاد مساحة المنطقة تحت منحنى الدالة بين أي حدين أعلى وأدنى؛ ليصبح التكامل عندها محددًا. --- SECTION: مثال 6 --- التكاملات المحددة يُعطى الشغل اللازم لشد نابض ما مسافة 0.5m من موضعه الطبيعي بالتكامل ∫₀⁰·⁵ 360x dx. ما قيمة الشغل اللازم لشد النابض مقيسًا بوحدة الجول؟ احسب قيمة التكامل المحدد. ∫₀⁰·⁵ 360x dx = 180x² |₀⁰·⁵ ... قاعدة ضرب دالة القوة في عدد ثابت، والنظرية الأساسية في التفاضل والتكامل = 180(0.5)² - 180(0)² ... a = 0, b = 0.5 = 45 - 0 = 45 ... بسّط أي أن الشغل اللازم هو 45J. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الشغل اللازم لشد نابض مسافة ما والمعطى بالتكامل في كل مما يأتي: 6A. ∫₀⁰·⁷ 476x dx 6B. ∫₀¹·⁴ 512x dx الدرس 6-8 النظرية الأساسية في التفاضل والتكامل 177 وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1447