صفحة 178 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: (المثالان 1, 2)

f(x) = x^5

f(z) = \sqrt[3]{z}

q(r) = \frac{3}{4}r^5 + \frac{5}{8}r^3 + r^{1/2}

w(u) = \frac{2}{3}u^5 + \frac{1}{6}u^3 - \frac{2}{5}u

u(d) = \frac{12}{d^5} + \frac{5}{d^3} - 6d^2 + 3.5

m(t) = 16t^3 - 12t^2 + 20t - 11

سقوط حر: ارجع إلى فقرة «لماذا؟» في بداية الدرس. افترض أن القلم قد استغرق 2s حتى الوصول إلى سطح الأرض. (مثال 3)

احسب كل تكامل مما يأتي: (المثالان 4, 5)

\int (6m + 12m^3) dm

\int_1^4 2x^3 dx

\int_2^5 (a^2 - a + 6) da

\int_1^3 (\frac{1}{2}h^2 + \frac{2}{3}h^3 - \frac{1}{5}h^4) dh

\int (3.4t^4 - 1.2t^3 + 2.3t - 5.7) dt

\int (14.2w^{6.1} - 20.1w^{5.7} + 13.2w^{2.3} + 3) dw

حشرات: تُعطى سرعة قفز حشرة بـ v(t) = -32t + 34 ، حيث t الزمن بالثواني، و v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية. (مثال 6)

هندسة: صمّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه بـ y = -x^2/157.5 + 4x ، حيث x بالأقدام. احسب مساحة المنطقة تحت القوس. (مثال 6)

احسب كل تكامل مما يأتي:

\int_{-3}^1 3 dx

\int_{-1}^2 (-x^2 + 10) dx

\int_{-2}^{-1} (\frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4}) dx

\int_{-1}^1 (x^4 - 2x^3 - 4x + 8) dx

\int_{-6}^{-3} (-x^2 - 9x - 10) dx

مقذوفات: تُعطى سرعة مقذوف بـ v(t) = -32t + 120 ، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه 228 ft بعد 3s.

احسب كل تكامل مما يأتي:

\int_x^2 (3t^2 + 8t) dt

\int_5^x (10t^4 - 12t^2 + 5) dt

\int_3^2 (4t^3 + 10t + 2) dt

\int_{-x}^6 (-9t^2 + 4t) dt

\int_x^{x^2} (16t^3 - 15t^2 + 7) dt

\int_{2x}^{x+3} (3t^2 + 6t + 1) dt

حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية. يبلغ طول نصف قطر كل حلقة \sqrt{R^2 - x^2} ، أي أن مساحة كل حلقة هي \pi(\sqrt{R^2 - x^2})^2 . أوجد \int_{-R}^R (\pi R^2 - \pi x^2) dx لحساب حجم الكرة.

مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ، g(x) والمحور x ، في الفترة 1 ≤ x ≤ 3 .

تدرب وحل المسائل أوجد جميع الدوال الأصلية لكل دالة مما يأتي: (المثالان 1, 2) --- SECTION: 1 --- f(x) = x^5 --- SECTION: 2 --- f(z) = \sqrt[3]{z} --- SECTION: 3 --- q(r) = \frac{3}{4}r^5 + \frac{5}{8}r^3 + r^{1/2} --- SECTION: 4 --- w(u) = \frac{2}{3}u^5 + \frac{1}{6}u^3 - \frac{2}{5}u --- SECTION: 5 --- u(d) = \frac{12}{d^5} + \frac{5}{d^3} - 6d^2 + 3.5 --- SECTION: 6 --- m(t) = 16t^3 - 12t^2 + 20t - 11 --- SECTION: 7 --- سقوط حر: ارجع إلى فقرة «لماذا؟» في بداية الدرس. افترض أن القلم قد استغرق 2s حتى الوصول إلى سطح الأرض. (مثال 3) a. أوجد دالة الموقع s(t) = \int -32t dt . b. احسب قيمة C عندما t = 2s ، s(t) = 0 . c. ما ارتفاع القلم عن سطح الأرض بعد 1.5s من سقوطه؟ احسب كل تكامل مما يأتي: (المثالان 4, 5) --- SECTION: 8 --- \int (6m + 12m^3) dm --- SECTION: 9 --- \int_1^4 2x^3 dx --- SECTION: 10 --- \int_2^5 (a^2 - a + 6) da --- SECTION: 11 --- \int_1^3 (\frac{1}{2}h^2 + \frac{2}{3}h^3 - \frac{1}{5}h^4) dh --- SECTION: 12 --- \int (3.4t^4 - 1.2t^3 + 2.3t - 5.7) dt --- SECTION: 13 --- \int (14.2w^{6.1} - 20.1w^{5.7} + 13.2w^{2.3} + 3) dw --- SECTION: 14 --- حشرات: تُعطى سرعة قفز حشرة بـ v(t) = -32t + 34 ، حيث t الزمن بالثواني، و v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية. (مثال 6) a. أوجد دالة الموقع s(t) للحشرة، ثم احسب قيمة الثابت C بفرض أنه عندما t = 0 ، فإن s(t) = 0 . b. أوجد الزمن من لحظة قفز الحشرة حتى هبوطها على سطح الأرض؟ --- SECTION: 15 --- هندسة: صمّم مهندس مدخل بناية على شكل قوس يمكن وصفه بـ y = -x^2/157.5 + 4x ، حيث x بالأقدام. احسب مساحة المنطقة تحت القوس. (مثال 6) احسب كل تكامل مما يأتي: --- SECTION: 16 --- \int_{-3}^1 3 dx --- SECTION: 17 --- \int_{-1}^2 (-x^2 + 10) dx --- SECTION: 18 --- \int_{-2}^{-1} (\frac{x^5}{2} + \frac{5x^4}{4}) dx --- SECTION: 19 --- \int_{-1}^1 (x^4 - 2x^3 - 4x + 8) dx --- SECTION: 20 --- \int_{-6}^{-3} (-x^2 - 9x - 10) dx --- SECTION: 21 --- مقذوفات: تُعطى سرعة مقذوف بـ v(t) = -32t + 120 ، حيث v(t) السرعة المتجهة بالأقدام لكل ثانية بعد t ثانية، ويبلغ ارتفاعه 228 ft بعد 3s. a. أوجد أقصى ارتفاع يصله المقذوف. b. أوجد سرعة المقذوف عندما يصل إلى سطح الأرض. احسب كل تكامل مما يأتي: --- SECTION: 22 --- \int_x^2 (3t^2 + 8t) dt --- SECTION: 23 --- \int_5^x (10t^4 - 12t^2 + 5) dt --- SECTION: 24 --- \int_3^2 (4t^3 + 10t + 2) dt --- SECTION: 25 --- \int_{-x}^6 (-9t^2 + 4t) dt --- SECTION: 26 --- \int_x^{x^2} (16t^3 - 15t^2 + 7) dt --- SECTION: 27 --- \int_{2x}^{x+3} (3t^2 + 6t + 1) dt --- SECTION: 28 --- حجم الكرة: يمكن إيجاد حجم كرة طول نصف قطرها R بقصها إلى حلقات دائرية من خلال مستويات رأسية متوازية ثم إجراء تكامل لحساب مساحات الحلقات الدائرية. يبلغ طول نصف قطر كل حلقة \sqrt{R^2 - x^2} ، أي أن مساحة كل حلقة هي \pi(\sqrt{R^2 - x^2})^2 . أوجد \int_{-R}^R (\pi R^2 - \pi x^2) dx لحساب حجم الكرة. --- SECTION: 29 --- مساحات: احسب مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيي f(x) ، g(x) والمحور x ، في الفترة 1 ≤ x ≤ 3 . --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لكرة نصف قطرها R، يوضح مقطعاً عرضياً (حلقة) على بعد x من المركز، حيث نصف قطر الحلقة هو الجذر التربيعي لـ (R^2 - x^2). Context: يوضح كيفية استخدام التكامل لحساب حجم الكرة عن طريق جمع مساحات المقاطع العرضية الدائرية. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني لدالتين تربيعيتين. الدالة f(x) باللون الأزرق تفتح للأعلى ورأسها عند (0, 1). الدالة g(x) باللون الأحمر تفتح للأسفل ورأسها عند (0, 9). تتقاطع الدالتان عند النقطة (2, 5). المنطقة المحصورة بينهما مظللة في الفترة من x=1 إلى x=3. X-axis: x Y-axis: y Context: يستخدم لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين باستخدام التكامل المحدد.