مثال 5 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تسمى الصورة ai + bj توافقًا خطيًا للمتجهين i, j. ويُقصد بها كتابة المتجه بدلالة متجهي الوحدة i, j.

كتابة متجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة إذا كانت نقطة بداية المتجه DE هي D(-2, 3)، ونقطة نهايته E(4, 5)، فاكتب DE على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j. أولاً، أوجد الصورة الإحداثية لـ DE. DE = <x2 - x1, y2 - y1> (الصورة الإحداثية) = <4 - (-2), 5 - 3> (x1, y1) = (-2, 3), (x2, y2) = (4, 5) = <6, 2> (بسط) ثم أعد كتابة المتجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة. DE = <6, 2> (الصورة الإحداثية) = 6i + 2j (a, b) = ai + bj

اكتب المتجه DE المعطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j في كل مما يأتي:

متجه الوحدة تستنتج من الصورة v = <|v| cos θ, |v| sin θ> أن متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه v يأخذ الصورة u = (1 cos θ, 1 sin θ) = (cos θ, sin θ)

ويمكن كتابة المتجه v = <a, b>، باستعمال زاوية الاتجاه التي يصنعها v مع الاتجاه الموجب لمحور x. فمن الشكل 5.2.5 يمكن كتابة v على الصورة الإحداثية، أو على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j كما يأتي: v = <a, b> (الصورة الإحداثية) = <|v| cos θ, |v| sin θ> (عوض) = |v| (cos θ)i + |v| (sin θ)j (توافق خطي من i, j)

إيجاد الصورة الإحداثية أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v الذي طوله 10، وزاوية اتجاهه 120° مع الأفقي. v = <|v| cos θ, |v| sin θ> (الصورة الإحداثية للمتجه v بدلالة θ, |v|) = <10 cos 120°, 10 sin 120°> (|v| = 10, θ = 120°) = <10(-1/2), 10(√3/2)> (cos 120° = -1/2, sin 120° = √3/2) = <-5, 5√3> (بسط)

مثل بيانيًا: <-5, 5√3> ≈ (-5, 8.7)، تجد أن قياس الزاوية التي يصنعها v مع الاتجاه الموجب لمحور x هي 120° كما في الشكل المجاور، |v| = √((-5)² + (5√3)²) = 10

أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v المعطى طوله وزاوية اتجاهه مع الأفقي في كل مما يأتي:

وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي 21

تسمى الصورة ai + bj توافقًا خطيًا للمتجهين i, j. ويُقصد بها كتابة المتجه بدلالة متجهي الوحدة i, j. --- SECTION: مثال 5 --- كتابة متجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة إذا كانت نقطة بداية المتجه DE هي D(-2, 3)، ونقطة نهايته E(4, 5)، فاكتب DE على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j. أولاً، أوجد الصورة الإحداثية لـ DE. DE = <x2 - x1, y2 - y1> (الصورة الإحداثية) = <4 - (-2), 5 - 3> (x1, y1) = (-2, 3), (x2, y2) = (4, 5) = <6, 2> (بسط) ثم أعد كتابة المتجه على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة. DE = <6, 2> (الصورة الإحداثية) = 6i + 2j (a, b) = ai + bj --- SECTION: تحقق من فهمك --- اكتب المتجه DE المعطى نقطتا بدايته ونهايته على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j في كل مما يأتي: 5A. D(-6, 0), E(2, 5) 5B. D(-3, -8), E(7, 1) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- متجه الوحدة تستنتج من الصورة v = <|v| cos θ, |v| sin θ> أن متجه الوحدة الذي له نفس اتجاه v يأخذ الصورة u = (1 cos θ, 1 sin θ) = (cos θ, sin θ) ويمكن كتابة المتجه v = <a, b>، باستعمال زاوية الاتجاه التي يصنعها v مع الاتجاه الموجب لمحور x. فمن الشكل 5.2.5 يمكن كتابة v على الصورة الإحداثية، أو على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j كما يأتي: v = <a, b> (الصورة الإحداثية) = <|v| cos θ, |v| sin θ> (عوض) = |v| (cos θ)i + |v| (sin θ)j (توافق خطي من i, j) --- SECTION: مثال 6 --- إيجاد الصورة الإحداثية أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v الذي طوله 10، وزاوية اتجاهه 120° مع الأفقي. v = <|v| cos θ, |v| sin θ> (الصورة الإحداثية للمتجه v بدلالة θ, |v|) = <10 cos 120°, 10 sin 120°> (|v| = 10, θ = 120°) = <10(-1/2), 10(√3/2)> (cos 120° = -1/2, sin 120° = √3/2) = <-5, 5√3> (بسط) --- SECTION: التحقق --- مثل بيانيًا: <-5, 5√3> ≈ (-5, 8.7)، تجد أن قياس الزاوية التي يصنعها v مع الاتجاه الموجب لمحور x هي 120° كما في الشكل المجاور، |v| = √((-5)² + (5√3)²) = 10 --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الصورة الإحداثية للمتجه v المعطى طوله وزاوية اتجاهه مع الأفقي في كل مما يأتي: 6A. |v| = 8, θ = 45° 6B. |v| = 24, θ = 210° وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445 الدرس 5-2 المتجهات في المستوى الإحداثي 21 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a vector v in the first quadrant of a Cartesian coordinate system. The vector starts at the origin O(0,0) and ends at point (a, b). The angle θ is shown between the positive x-axis and the vector. The horizontal component is labeled |v| cos θ and the vertical component is labeled |v| sin θ. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: A graph showing a vector v plotted in the second quadrant. The tail of the vector is at the origin O(0,0). The tip of the vector is at the point (-5, 5√3), which is approximately (-5, 8.7). The angle of 120° is marked from the positive x-axis to the vector. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual verification of the component form of a vector with magnitude 10 and direction 120 degrees.