مثال 7 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 7

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

من الشكل (5.2.5) تستنتج أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه v = ⟨a, b⟩ مع الاتجاه الأفقي (الموجب لمحور x) بحل المعادلة المثلثية: tan θ = (|v| sin θ) / (|v| cos θ) ، أو tan θ = b/a .

نوع: محتوى تعليمي

مثال 7 زوايا الاتجاه للمتجهات

مثال 7

نوع: محتوى تعليمي

أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x.

تنبيه!

نوع: محتوى تعليمي

لكل قيمة لـ tan θ توجد زاويتان مختلفتان، بناءً على العلاقة: tan θ = tan(θ + 180). فإذا كانت قيمة tan θ موجبة فإن θ زاوية تقع في الربع الأول أو الربع الثالث، وإذا كانت قيمة tan θ سالبة، فإن θ زاوية تقع في الربع الثاني أو الرابع، وتكون العلاقة بين الزاويتين هي أن قياس إحداهما عبارة عن قياس الأولى مجموعاً لها 180°.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

7A

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهين الآتيين مع الاتجاه الموجب لمحور x: -6i + 2j

7B

نوع: QUESTION_HOMEWORK

⟨-3, -8⟩

نوع: محتوى تعليمي

مثال 8 من واقع الحياة تطبيق العمليات على المتجهات

مثال 8

نوع: محتوى تعليمي

كرة قدم: يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم للأمام بسرعة 5 m/s ، ليرمي الكرة بسرعة 25 m/s ، بزاوية 40° مع الأفقي. أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة.

نوع: METADATA

22 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

الشكل 5.2.6

Vector p starting from the origin (0,0) and ending at point (3,7).

الشكل 5.2.7

Vector r starting from the origin (0,0) and ending at point (4,-5).

Diagram showing a soccer player and two velocity vectors. One vector is horizontal (5 m/s) and the other is at a 40-degree angle (25 m/s).

📄 النص الكامل للصفحة

من الشكل (5.2.5) تستنتج أنه يمكن إيجاد زاوية اتجاه المتجه v = ⟨a, b⟩ مع الاتجاه الأفقي (الموجب لمحور x) بحل المعادلة المثلثية: tan θ = (|v| sin θ) / (|v| cos θ) ، أو tan θ = b/a . مثال 7 زوايا الاتجاه للمتجهات --- SECTION: مثال 7 --- أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهات الآتية مع الاتجاه الموجب لمحور x. a. p = 3i + 7j معادلة زاوية الاتجاه: tan θ = b/a a = 3, b = 7 -> tan θ = 7/3 حل بالنسبة إلى θ: θ = tan⁻¹(7/3) من خلال الصورة الإحداثية للمتجه x = 3, y = 7، فإن المتجه يقع في الربع الأول، إذن: استعمل الآلة الحاسبة: θ ≈ 66.8° أي أن زاوية اتجاه المتجه p هي 66.8° تقريبًا كما في الشكل 5.2.6. b. r = ⟨4, -5⟩ معادلة زاوية الاتجاه: tan θ = b/a a = 4, b = -5 -> tan θ = -5/4 حل بالنسبة إلى θ: θ = tan⁻¹(-5/4) من خلال الصورة الإحداثية للمتجه x = 4 > 0, y = -5 < 0، فإن المتجه يقع في الربع الرابع وبالتالي زاويته: استعمل الآلة الحاسبة: θ ≈ -51.3° بما أن r يقع في الربع الرابع، كما في الشكل 5.2.7، فإن: θ ≈ 360° - 51.3° = 308.7° --- SECTION: تنبيه! --- لكل قيمة لـ tan θ توجد زاويتان مختلفتان، بناءً على العلاقة: tan θ = tan(θ + 180). فإذا كانت قيمة tan θ موجبة فإن θ زاوية تقع في الربع الأول أو الربع الثالث، وإذا كانت قيمة tan θ سالبة، فإن θ زاوية تقع في الربع الثاني أو الرابع، وتكون العلاقة بين الزاويتين هي أن قياس إحداهما عبارة عن قياس الأولى مجموعاً لها 180°. تحقق من فهمك --- SECTION: 7A --- أوجد زاوية اتجاه كل من المتجهين الآتيين مع الاتجاه الموجب لمحور x: -6i + 2j --- SECTION: 7B --- ⟨-3, -8⟩ مثال 8 من واقع الحياة تطبيق العمليات على المتجهات --- SECTION: مثال 8 --- كرة قدم: يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم للأمام بسرعة 5 m/s ، ليرمي الكرة بسرعة 25 m/s ، بزاوية 40° مع الأفقي. أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة. الحل. بما أن اللاعب يتحرك للأمام بشكل مستقيم، فإن الصورة الإحداثية لمتجه سرعة اللاعب v₁ هي ⟨5, 0⟩، وتكون الصورة الإحداثية لمتجه سرعة الكرة v₂ هي: الصورة الإحداثية للمتجه v₂: v₂ = ⟨|v₂| cos θ, |v₂| sin θ⟩ |v₂| = 25, θ = 40° -> = ⟨25 cos 40°, 25 sin 40°⟩ بسط: ≈ ⟨19.2, 16.1⟩ 22 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: الشكل 5.2.6 Description: Vector p starting from the origin (0,0) and ending at point (3,7). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of vector p in the first quadrant with its direction angle. **GRAPH**: الشكل 5.2.7 Description: Vector r starting from the origin (0,0) and ending at point (4,-5). X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of vector r in the fourth quadrant with its direction angle measured counter-clockwise from the positive x-axis. **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing a soccer player and two velocity vectors. One vector is horizontal (5 m/s) and the other is at a 40-degree angle (25 m/s). Key Values: 5 m/s, 25 m/s, 40° Context: Real-world application of vector addition in sports physics.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 1

سؤال 8: مثال 8: كرة قدم: يركض حارس مرمى في لعبة كرة القدم للأمام بسرعة 5 m/s ، ليرمي الكرة بسرعة 25 m/s ، بزاوية 40° مع الأفقي. أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة.

الإجابة: $\vec{v} = \langle 5 + 25 \cos 40^\circ, 25 \sin 40^\circ \rangle \approx \langle 24.2, 16.1 \rangle \text{ m/s}$ $|\vec{v}| \approx 29.1 \text{ m/s}$ ، واتجاهها $33.6^\circ \approx \theta$ مع الاتجاه الموجب لمحور $x$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحلل المعطيات التي لدينا في المسألة: - سرعة حارس المرمى (تعتبر حركة أفقية تماماً): $v_g = 5$ m/s، ويمكن التعبير عنها بالمتجه $\langle 5, 0 \rangle$. - سرعة رمي الكرة بالنسبة للحارس: $v_b = 25$ m/s. - زاوية الرمي: $\theta = 40^\circ$ مع الأفقي.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد محصلة السرعة، يجب أن نجمع متجه سرعة الحارس مع متجه سرعة الكرة. نحتاج أولاً لتحليل سرعة الكرة إلى مركبتين أفقية ($x$) ورأسية ($y$): - المركبة الأفقية للكرة: $25 \cos 40^\circ$ - المركبة الرأسية للكرة: $25 \sin 40^\circ$ المحصلة النهائية $\vec{v}$ ستكون مجموع السرعات: $\vec{v} = \langle 5 + 25 \cos 40^\circ, 25 \sin 40^\circ \rangle$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً: نوجد قيم المركبات: $x = 5 + 25(0.766) \approx 5 + 19.15 = 24.15 \approx 24.2$ $y = 25(0.643) \approx 16.07 \approx 16.1$ إذن المتجه هو $\langle 24.2, 16.1 \rangle$. ثانياً: نوجد مقدار المحصلة (طول المتجه): $|\vec{v}| = \sqrt{24.2^2 + 16.1^2} \approx \sqrt{585.64 + 259.21} \approx 29.1$ m/s ثالثاً: نوجد اتجاه الحركة باستخدام ظل الزاوية: $\theta = \tan^{-1}(\frac{16.1}{24.2}) \approx 33.6^\circ$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن محصلة السرعة هي **29.1 m/s** تقريباً، واتجاه حركة الكرة يصنع زاوية قدرها **33.6°** تقريباً مع الاتجاه الموجب لمحور $x$.