مثال: جمع المتجهات جبريًا - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال: جمع المتجهات جبريًا

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

مثال: جمع المتجهات جبريًا

نوع: محتوى تعليمي

اجمع المتجهين v1, v2 جبريًا؛ لتجد متجه محصلة السرعة r. متجه المحصلة r = v1 + v2 عوض = <5, 0> + <19.2, 16.1> اجمع = <24.2, 16.1> طول متجه المحصلة هو |r| = sqrt(24.2^2 + 16.1^2) ≈ 29.1. وتكون زاوية اتجاه المحصلة مع الأفقي هي θ حيث: tan θ = b/a = 16.1/24.2 θ = tan^-1(16.1/24.2) ≈ 33.6° أي أن محصلة سرعة الكرة هي 29.1 m/s تقريبًا، وتصنع زاوية قياسها 33.6° مع الأفقي تقريبًا.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) كرة قدم: أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة إذا تحرك اللاعب إلى الأمام بسرعة 7m/s

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

نوع: محتوى تعليمي

أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2)

1

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) A(-3, 1), B(4, 5)

2

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) A(2, -7), B(-6, 9)

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) A(10, -2), B(3, -5)

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) A(-2, 6), B(1, 10)

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) A(2.5, -3), B(-4, 1.5)

6

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) A(1/2, -9), B(6, 5/2)

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3)

7

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) 4h - g

8

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) f + 2h

9

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) 2f + g - 3h

10

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10) f - 2g - 2h

11

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) h - 4f + 5g

12

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) 4g - 3f + h

نوع: محتوى تعليمي

أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4)

13

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) v = <-2, 7>

14

نوع: QUESTION_HOMEWORK

14) v = <9, -3>

15

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) v = <-8, -5>

16

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) v = <6, 3>

17

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) v = <-1, -5>

18

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) v = <1, 7>

نوع: محتوى تعليمي

اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5)

19

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) D(4, -1), E(5, -7)

20

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20) D(9, -6), E(-7, 2)

21

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) D(3, 11), E(-2, -8)

22

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) D(9.5, 1), E(0, -7.3)

23

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) D(-4, -6), E(9, 5)

24

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) D(1/8, 3), E(-4, 2/7)

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2-5 المتجهات في المستوى الإحداثي 23

🔍 عناصر مرئية

تمثيل جمع المتجهات جبريًا

رسم توضيحي لجمع متجهين في المستوى الإحداثي. المتجه v1 يبدأ من نقطة الأصل O(0,0) ويمتد أفقيًا جهة اليمين على محور x. المتجه v2 يبدأ من نهاية المتجه v1 ويمتد مائلاً في الربع الأول. المتجه r هو المحصلة، ويبدأ من نقطة الأصل O وينتهي عند رأس المتجه v2. تظهر الزاوية θ بين المتجه r والمحور الأفقي x.

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: مثال: جمع المتجهات جبريًا --- اجمع المتجهين v1, v2 جبريًا؛ لتجد متجه محصلة السرعة r. متجه المحصلة r = v1 + v2 عوض = <5, 0> + <19.2, 16.1> اجمع = <24.2, 16.1> طول متجه المحصلة هو |r| = sqrt(24.2^2 + 16.1^2) ≈ 29.1. وتكون زاوية اتجاه المحصلة مع الأفقي هي θ حيث: tan θ = b/a = 16.1/24.2 θ = tan^-1(16.1/24.2) ≈ 33.6° أي أن محصلة سرعة الكرة هي 29.1 m/s تقريبًا، وتصنع زاوية قياسها 33.6° مع الأفقي تقريبًا. تحقق من فهمك --- SECTION: 8 --- 8) كرة قدم: أوجد محصلة السرعة، واتجاه حركة الكرة إذا تحرك اللاعب إلى الأمام بسرعة 7m/s تدرب وحل المسائل أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) --- SECTION: 1 --- 1) A(-3, 1), B(4, 5) --- SECTION: 2 --- 2) A(2, -7), B(-6, 9) --- SECTION: 3 --- 3) A(10, -2), B(3, -5) --- SECTION: 4 --- 4) A(-2, 6), B(1, 10) --- SECTION: 5 --- 5) A(2.5, -3), B(-4, 1.5) --- SECTION: 6 --- 6) A(1/2, -9), B(6, 5/2) إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) --- SECTION: 7 --- 7) 4h - g --- SECTION: 8 --- 8) f + 2h --- SECTION: 9 --- 9) 2f + g - 3h --- SECTION: 10 --- 10) f - 2g - 2h --- SECTION: 11 --- 11) h - 4f + 5g --- SECTION: 12 --- 12) 4g - 3f + h أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) --- SECTION: 13 --- 13) v = <-2, 7> --- SECTION: 14 --- 14) v = <9, -3> --- SECTION: 15 --- 15) v = <-8, -5> --- SECTION: 16 --- 16) v = <6, 3> --- SECTION: 17 --- 17) v = <-1, -5> --- SECTION: 18 --- 18) v = <1, 7> اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) --- SECTION: 19 --- 19) D(4, -1), E(5, -7) --- SECTION: 20 --- 20) D(9, -6), E(-7, 2) --- SECTION: 21 --- 21) D(3, 11), E(-2, -8) --- SECTION: 22 --- 22) D(9.5, 1), E(0, -7.3) --- SECTION: 23 --- 23) D(-4, -6), E(9, 5) --- SECTION: 24 --- 24) D(1/8, 3), E(-4, 2/7) وزارة التعليم Ministry of Education الدرس 2-5 المتجهات في المستوى الإحداثي 23 --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: تمثيل جمع المتجهات جبريًا Description: رسم توضيحي لجمع متجهين في المستوى الإحداثي. المتجه v1 يبدأ من نقطة الأصل O(0,0) ويمتد أفقيًا جهة اليمين على محور x. المتجه v2 يبدأ من نهاية المتجه v1 ويمتد مائلاً في الربع الأول. المتجه r هو المحصلة، ويبدأ من نقطة الأصل O وينتهي عند رأس المتجه v2. تظهر الزاوية θ بين المتجه r والمحور الأفقي x. X-axis: x Y-axis: y Context: يوضح الرسم قاعدة المثلث لجمع المتجهات جبريًا وإيجاد المحصلة r وزاوية اتجاهها θ.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 24

سؤال 1: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 1) A(-3, 1), B(4, 5)

الإجابة: س1: $\vec{AB} = \langle 7, 4 \rangle$ ، $|AB| = \sqrt{65}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نقطة البداية $A(-3, 1)$ ونقطة النهاية $B(4, 5)$. نحدد الإحداثيات: $x_1 = -3, y_1 = 1$ $x_2 = 4, y_2 = 5$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** لإيجاد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{AB}$ نستخدم: $$\langle x_2 - x_1, y_2 - y_1 \rangle$$ ولإيجاد الطول $|AB|$ نستخدم: $$\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle 4 - (-3), 5 - 1 \rangle = \langle 7, 4 \rangle$$ الطول: $$|AB| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle 7, 4 \rangle$ والطول هو $\sqrt{65}$

سؤال 2: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 2) A(2, -7), B(-6, 9)

الإجابة: س2: $\vec{AB} = \langle -8, 16 \rangle$ ، $|AB| = 8\sqrt{5}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية $A(2, -7)$ ونقطة النهاية $B(-6, 9)$. $x_1 = 2, y_1 = -7$ $x_2 = -6, y_2 = 9$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle -6 - 2, 9 - (-7) \rangle = \langle -8, 16 \rangle$$ الطول: $$|AB| = \sqrt{(-8)^2 + 16^2} = \sqrt{64 + 256} = \sqrt{320}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط الجذر $\sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5}$. إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle -8, 16 \rangle$ والطول هو $8\sqrt{5}$

سؤال 3: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 3) A(10, -2), B(3, -5)

الإجابة: س3: $\vec{AB} = \langle -7, -3 \rangle$ ، $|AB| = \sqrt{58}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية $A(10, -2)$ ونقطة النهاية $B(3, -5)$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle 3 - 10, -5 - (-2) \rangle = \langle -7, -3 \rangle$$ الطول: $$|AB| = \sqrt{(-7)^2 + (-3)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle -7, -3 \rangle$ والطول هو $\sqrt{58}$

سؤال 4: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 4) A(-2, 6), B(1, 10)

الإجابة: س4: $\vec{AB} = \langle 3, 4 \rangle$ ، $|AB| = 5$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية $A(-2, 6)$ ونقطة النهاية $B(1, 10)$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle 1 - (-2), 10 - 6 \rangle = \langle 3, 4 \rangle$$ الطول: $$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle 3, 4 \rangle$ والطول هو $5$

سؤال 5: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 5) A(2.5, -3), B(-4, 1.5)

الإجابة: س5: $\vec{AB} = \langle -6.5, 4.5 \rangle = \langle -\frac{13}{2}, \frac{9}{2} \rangle$ $|AB| = \frac{5\sqrt{10}}{2}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية $A(2.5, -3)$ ونقطة النهاية $B(-4, 1.5)$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle -4 - 2.5, 1.5 - (-3) \rangle = \langle -6.5, 4.5 \rangle$$ يمكن كتابتها ككسور: $\langle -\frac{13}{2}, \frac{9}{2} \rangle$. الطول: $$|AB| = \sqrt{(-6.5)^2 + 4.5^2} = \sqrt{42.25 + 20.25} = \sqrt{62.5}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط الجذر $\sqrt{62.5} = \sqrt{\frac{250}{4}} = \frac{\sqrt{25 \times 10}}{2} = \frac{5\sqrt{10}}{2}$. إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle -6.5, 4.5 \rangle$ والطول هو $\frac{5\sqrt{10}}{2}$

سؤال 6: أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي: (المثالان 1, 2) 6) A(1/2, -9), B(6, 5/2)

الإجابة: س6: $\vec{AB} = \langle \frac{11}{2}, \frac{23}{2} \rangle$ $|AB| = \frac{5\sqrt{26}}{2}$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية $A(1/2, -9)$ ونقطة النهاية $B(6, 5/2)$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** الصورة الإحداثية: $$\vec{AB} = \langle 6 - \frac{1}{2}, \frac{5}{2} - (-9) \rangle = \langle \frac{11}{2}, \frac{23}{2} \rangle$$ الطول: $$|AB| = \sqrt{(\frac{11}{2})^2 + (\frac{23}{2})^2} = \sqrt{\frac{121}{4} + \frac{529}{4}} = \sqrt{\frac{650}{4}}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط الجذر $\frac{\sqrt{650}}{2} = \frac{\sqrt{25 \times 26}}{2} = \frac{5\sqrt{26}}{2}$. إذن الإجابة هي: $\vec{AB} = \langle \frac{11}{2}, \frac{23}{2} \rangle$ والطول هو $\frac{5\sqrt{26}}{2}$

سؤال 7: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 7) 4h - g

الإجابة: س7: $\langle -21, 13 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $h = \langle -6, 2 \rangle, g = \langle -3, -5 \rangle$. المطلوب حساب $4h - g$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** أولاً، نضرب المتجه $h$ في 4: $$4h = 4\langle -6, 2 \rangle = \langle -24, 8 \rangle$$ ثانياً، نطرح المتجه $g$: $$\langle -24, 8 \rangle - \langle -3, -5 \rangle = \langle -24 - (-3), 8 - (-5) \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle -21, 13 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle -21, 13 \rangle$

سؤال 8: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 8) f + 2h

الإجابة: س8: $\langle -4, 4 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $f = \langle 8, 0 \rangle, h = \langle -6, 2 \rangle$. المطلوب حساب $f + 2h$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** أولاً، نضرب المتجه $h$ في 2: $$2h = 2\langle -6, 2 \rangle = \langle -12, 4 \rangle$$ ثانياً، نجمع المتجه $f$: $$\langle 8, 0 \rangle + \langle -12, 4 \rangle = \langle 8 + (-12), 0 + 4 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle -4, 4 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle -4, 4 \rangle$

سؤال 9: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 9) 2f + g - 3h

الإجابة: س9: $\langle 31, -11 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $f = \langle 8, 0 \rangle, g = \langle -3, -5 \rangle, h = \langle -6, 2 \rangle$. المطلوب حساب $2f + g - 3h$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب كل جزء: $2f = 2\langle 8, 0 \rangle = \langle 16, 0 \rangle$ $3h = 3\langle -6, 2 \rangle = \langle -18, 6 \rangle$ الآن نجمع ونطرح: $$\langle 16, 0 \rangle + \langle -3, -5 \rangle - \langle -18, 6 \rangle = \langle 16 - 3 - (-18), 0 - 5 - 6 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle 31, -11 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle 31, -11 \rangle$

سؤال 10: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 10) f - 2g - 2h

الإجابة: س10: $\langle 26, 6 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $f = \langle 8, 0 \rangle, g = \langle -3, -5 \rangle, h = \langle -6, 2 \rangle$. المطلوب حساب $f - 2g - 2h$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الأجزاء المضروبة: $2g = \langle -6, -10 \rangle$ $2h = \langle -12, 4 \rangle$ الآن نطرح: $$\langle 8, 0 \rangle - \langle -6, -10 \rangle - \langle -12, 4 \rangle = \langle 8 - (-6) - (-12), 0 - (-10) - 4 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle 26, 6 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle 26, 6 \rangle$

سؤال 11: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 11) h - 4f + 5g

الإجابة: س11: $\langle -53, -23 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $h = \langle -6, 2 \rangle, f = \langle 8, 0 \rangle, g = \langle -3, -5 \rangle$. المطلوب حساب $h - 4f + 5g$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الأجزاء: $4f = \langle 32, 0 \rangle$ $5g = \langle -15, -25 \rangle$ الآن نطبق العملية: $$\langle -6, 2 \rangle - \langle 32, 0 \rangle + \langle -15, -25 \rangle = \langle -6 - 32 - 15, 2 - 0 - 25 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle -53, -23 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle -53, -23 \rangle$

سؤال 12: إذا كان: h = <-6, 2>, g = <-3, -5>, f = <8, 0>، فأوجد كلاً مما يأتي: (مثال 3) 12) 4g - 3f + h

الإجابة: س12: $\langle -42, -18 \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهات: $g = \langle -3, -5 \rangle, f = \langle 8, 0 \rangle, h = \langle -6, 2 \rangle$. المطلوب حساب $4g - 3f + h$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الأجزاء: $4g = \langle -12, -20 \rangle$ $3f = \langle 24, 0 \rangle$ الآن نطبق العملية: $$\langle -12, -20 \rangle - \langle 24, 0 \rangle + \langle -6, 2 \rangle = \langle -12 - 24 - 6, -20 - 0 + 2 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالتبسيط: $\langle -42, -18 \rangle$. إذن الإجابة هي: $\langle -42, -18 \rangle$

سؤال 13: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 13) v = <-2, 7>

الإجابة: س13: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{-2}{\sqrt{53}}, \frac{7}{\sqrt{53}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد متجه الوحدة $u$ في اتجاه المتجه $v$ نستخدم القانون: $$u = \frac{v}{|v|}$$ حيث $|v|$ هو طول المتجه.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** المتجه $v = \langle -2, 7 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{(-2)^2 + 7^2} = \sqrt{4 + 49} = \sqrt{53}$. الآن نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{-2}{\sqrt{53}}, \frac{7}{\sqrt{53}} \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن متجه الوحدة هو: $\langle \frac{-2}{\sqrt{53}}, \frac{7}{\sqrt{53}} \rangle$

سؤال 14: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 14) v = <9, -3>

الإجابة: س14: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{-1}{\sqrt{10}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** المتجه $v = \langle 9, -3 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{9^2 + (-3)^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{9}{3\sqrt{10}}, \frac{-3}{3\sqrt{10}} \rangle = \langle \frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{-1}{\sqrt{10}} \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن متجه الوحدة هو: $\langle \frac{3}{\sqrt{10}}, \frac{-1}{\sqrt{10}} \rangle$

سؤال 15: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 15) v = <-8, -5>

الإجابة: س15: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{-8}{\sqrt{89}}, \frac{-5}{\sqrt{89}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** المتجه $v = \langle -8, -5 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{(-8)^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 25} = \sqrt{89}$.
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{-8}{\sqrt{89}}, \frac{-5}{\sqrt{89}} \rangle$$

سؤال 16: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 16) v = <6, 3>

الإجابة: س16: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** المتجه $v = \langle 6, 3 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{6}{3\sqrt{5}}, \frac{3}{3\sqrt{5}} \rangle = \langle \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن متجه الوحدة هو: $\langle \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}} \rangle$

سؤال 17: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 17) v = <-1, -5>

الإجابة: س17: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{-1}{\sqrt{26}}, \frac{-5}{\sqrt{26}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** المتجه $v = \langle -1, -5 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{(-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 25} = \sqrt{26}$.
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{-1}{\sqrt{26}}, \frac{-5}{\sqrt{26}} \rangle$$

سؤال 18: أوجد متجه وحدة له اتجاه المتجه v نفسه في كل مما يأتي: (مثال 4) 18) v = <1, 7>

الإجابة: س18: $u = \frac{v}{|v|} = \langle \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}} \rangle$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** المتجه $v = \langle 1, 7 \rangle$. نحسب الطول: $|v| = \sqrt{1^2 + 7^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نقسم المتجه على طوله: $$u = \langle \frac{1}{5\sqrt{2}}, \frac{7}{5\sqrt{2}} \rangle$$

سؤال 19: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 19) D(4, -1), E(5, -7)

الإجابة: س19: $\vec{DE} = \langle 1, -6 \rangle = 1i - 6j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** التوافق الخطي لمتجهي الوحدة $i, j$ يعني كتابة المتجه على الصورة $ai + bj$ حيث $a, b$ هما مركبات المتجه في الصورة الإحداثية.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(4, -1), E(5, -7)$: $$\vec{DE} = \langle 5 - 4, -7 - (-1) \rangle = \langle 1, -6 \rangle$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$1i + (-6)j = 1i - 6j$$ إذن الإجابة هي: $1i - 6j$

سؤال 20: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 20) D(9, -6), E(-7, 2)

الإجابة: س20: $\vec{DE} = \langle -16, 8 \rangle = -16i + 8j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(9, -6), E(-7, 2)$: $$\vec{DE} = \langle -7 - 9, 2 - (-6) \rangle = \langle -16, 8 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$-16i + 8j$$

سؤال 21: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 21) D(3, 11), E(-2, -8)

الإجابة: س21: $\vec{DE} = \langle -5, -19 \rangle = -5i - 19j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(3, 11), E(-2, -8)$: $$\vec{DE} = \langle -2 - 3, -8 - 11 \rangle = \langle -5, -19 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$-5i - 19j$$

سؤال 22: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 22) D(9.5, 1), E(0, -7.3)

الإجابة: س22: $\vec{DE} = \langle -9.5, -8.3 \rangle = -9.5i - 8.3j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(9.5, 1), E(0, -7.3)$: $$\vec{DE} = \langle 0 - 9.5, -7.3 - 1 \rangle = \langle -9.5, -8.3 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$-9.5i - 8.3j$$

سؤال 23: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 23) D(-4, -6), E(9, 5)

الإجابة: س23: $\vec{DE} = \langle 13, 11 \rangle = 13i + 11j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(-4, -6), E(9, 5)$: $$\vec{DE} = \langle 9 - (-4), 5 - (-6) \rangle = \langle 13, 11 \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$13i + 11j$$

سؤال 24: اكتب DE، المعطاة نقطتا بدايته ونهايته في كل مما يأتي على صورة توافق خطي لمتجهي الوحدة i, j: (مثال 5) 24) D(1/8, 3), E(-4, 2/7)

الإجابة: س24: $\vec{DE} = \langle -\frac{33}{8}, -\frac{19}{7} \rangle = -\frac{33}{8}i - \frac{19}{7}j$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الحل):** نوجد الصورة الإحداثية للمتجه $\vec{DE}$ من النقطتين $D(1/8, 3), E(-4, 2/7)$: $$\vec{DE} = \langle -4 - \frac{1}{8}, \frac{2}{7} - 3 \rangle = \langle -\frac{33}{8}, -\frac{19}{7} \rangle$$
  2. **الخطوة 2 (النتيجة):** نحولها لصورة توافق خطي: $$-\frac{33}{8}i - \frac{19}{7}j$$