فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

5-3 الضرب الداخلي Dot Product

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

درست عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات هندسياً وجبرياً. (الدرس 2-5)

• أجد الضرب الداخلي لمتجهين، وأستعمله في إيجاد الزاوية بينهما.

الضرب الداخلي dot product المتجهان المتعامدان Orthogonal vectors الشغل work

تحمل كلمة الشغل معان متعددة في الحياة اليومية، إلا أن لها معنى محدداً في الفيزياء، وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في المسافة، التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي.

تعلمت في الدرس 2-5 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان a, b في الوضع القياسي، وكان BA المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن |BA|² = |a|² + |b|². وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد |BA|².

|BA| = √((a₁ - b₁)² + (a₂ - b₂)²) ... تعريف طول متجه |BA|² = (a₁ - b₁)² + (a₂ - b₂)² ... ربع الطرفين |BA|² = a₁² - 2a₁b₁ + b₁² + a₂² - 2a₂b₂ + b₂² ... فك الأقواس |BA|² = (a₁² + a₂²) + (b₁² + b₂²) - 2(a₁b₁ + a₂b₂) |BA|² = |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂) حيث |a| = √(a₁² + a₂²), |a|² = a₁² + a₂² |b| = √(b₁² + b₂²), |b|² = b₁² + b₂²

لاحظ أن العبارتين |a|² + |b|² و |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂) متكافئتان، إذا وفقط إذا كان a₁b₁ + a₂b₂ = 0. ويُسمّى التعبير a₁b₁ + a₂b₂ الضرب الداخلي للمتجهين a, b، ويُرمز له بالرمز a • b، ويُقرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b، أو يُقرأ اختصاراً a dot b.

الضرب القياسي: يسمى الضرب الداخلي في بعض الأحيان بالضرب القياسي.

يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ كالآتي: a • b = a₁b₁ + a₂b₂

لاحظ أنه خلافاً لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات، فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عدداً وليس متجهاً. ويتعامد متجهان غير صفريين، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفراً. ويقال للمتجهين اللذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: متجهان متعامدان.

يكون المتجهان غير الصفريين a, b متعامدين، إذا وفقط إذا كان a • b = 0.

على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي الصفر، أي أن: ⟨a₁, a₂⟩ • ⟨0, 0⟩ = 0a₁ + 0a₂ = 0 إلا أن المتجه الصفري لا يعامد أي متجه آخر؛ لأنه ليس له طول أو اتجاه.

26 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

5-3 الضرب الداخلي Dot Product رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درست عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات هندسياً وجبرياً. (الدرس 2-5) --- SECTION: والآن --- • أجد الضرب الداخلي لمتجهين، وأستعمله في إيجاد الزاوية بينهما. --- SECTION: المفردات --- الضرب الداخلي dot product المتجهان المتعامدان Orthogonal vectors الشغل work --- SECTION: لماذا؟ --- تحمل كلمة الشغل معان متعددة في الحياة اليومية، إلا أن لها معنى محدداً في الفيزياء، وهو مقدار القوة المؤثرة في جسم مضروبة في المسافة، التي يتحركها الجسم في اتجاه القوة. ومثال ذلك: الشغل المبذول لدفع سيارة مسافة محددة. ويمكن حساب هذا الشغل باستعمال عملية على المتجهات تسمى الضرب الداخلي. --- SECTION: الضرب الداخلي --- تعلمت في الدرس 2-5 عمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات. وفي هذا الدرس سوف تتعلم عملية ثالثة على المتجهات. إذا كان لديك المتجهان a, b في الوضع القياسي، وكان BA المتجه الواصل بين نقطتي نهاية المتجهين كما في الشكل المجاور. فإنك تعلم من نظرية فيثاغورس أن |BA|² = |a|² + |b|². وباستعمال مفهوم طول المتجه يمكنك إيجاد |BA|². |BA| = √((a₁ - b₁)² + (a₂ - b₂)²) ... تعريف طول متجه |BA|² = (a₁ - b₁)² + (a₂ - b₂)² ... ربع الطرفين |BA|² = a₁² - 2a₁b₁ + b₁² + a₂² - 2a₂b₂ + b₂² ... فك الأقواس |BA|² = (a₁² + a₂²) + (b₁² + b₂²) - 2(a₁b₁ + a₂b₂) |BA|² = |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂) حيث |a| = √(a₁² + a₂²), |a|² = a₁² + a₂² |b| = √(b₁² + b₂²), |b|² = b₁² + b₂² لاحظ أن العبارتين |a|² + |b|² و |a|² + |b|² - 2(a₁b₁ + a₂b₂) متكافئتان، إذا وفقط إذا كان a₁b₁ + a₂b₂ = 0. ويُسمّى التعبير a₁b₁ + a₂b₂ الضرب الداخلي للمتجهين a, b، ويُرمز له بالرمز a • b، ويُقرأ الضرب الداخلي للمتجهين a, b، أو يُقرأ اختصاراً a dot b. --- SECTION: قراءة الرياضيات --- الضرب القياسي: يسمى الضرب الداخلي في بعض الأحيان بالضرب القياسي. --- SECTION: مفهوم أساسي: الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي --- يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ كالآتي: a • b = a₁b₁ + a₂b₂ لاحظ أنه خلافاً لعمليتي الجمع والضرب في عدد حقيقي على المتجهات، فإن حاصل الضرب الداخلي لمتجهين يكون عدداً وليس متجهاً. ويتعامد متجهان غير صفريين، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفراً. ويقال للمتجهين اللذين حاصل ضربهما الداخلي صفر: متجهان متعامدان. --- SECTION: مفهوم أساسي: المتجهان المتعامدان --- يكون المتجهان غير الصفريين a, b متعامدين، إذا وفقط إذا كان a • b = 0. على الرغم من أن حاصل الضرب الداخلي للمتجه الصفري في أي متجه آخر يساوي الصفر، أي أن: ⟨a₁, a₂⟩ • ⟨0, 0⟩ = 0a₁ + 0a₂ = 0 إلا أن المتجه الصفري لا يعامد أي متجه آخر؛ لأنه ليس له طول أو اتجاه. 26 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph showing two men pushing a silver SUV from behind, illustrating the concept of work. **GRAPH**: Untitled Description: The graph shows two vectors in standard position. Vector 'a' (red) starts at origin O and ends at point A(a1, a2) on the x-axis. Vector 'b' (blue) starts at origin O and ends at point B(b1, b2) in the first quadrant. A black vector labeled BA connects point B to point A. X-axis: x Y-axis: y Context: Used to derive the dot product formula using the distance between endpoints of vectors. **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: مفهوم أساسي | الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي Rows: Row 1: يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين a = ⟨a₁, a₂⟩, b = ⟨b₁, b₂⟩ كالآتي: | a • b = a₁b₁ + a₂b₂ **TABLE**: Untitled Description: No description Table Structure: Headers: مفهوم أساسي | المتجهان المتعامدان Rows: Row 1: يكون المتجهان غير الصفريين a, b متعامدين، إذا وفقط إذا كان a • b = 0.