مثال 1 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 1 استعمال الضرب الداخلي في التحقق من تعامد متجهين أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. a) u = <3, 6>, v = <-4, 2> u · v = 3(-4) + 6(2) = 0 بما أن u · v = 0، فإن u, v متعامدان كما هو موضح في الشكل 5.3.1. b) u = <2, 5>, v = <8, 4> u · v = 2(8) + 5(4) = 36 بما أن u · v ≠ 0، فإن u, v غير متعامدين كما هو موضح في الشكل 5.3.2.

تحقق من فهمك أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين.

يحقق الضرب الداخلي الخصائص الآتية:

إذا كانت u, v, w متجهات، وكان k عدداً حقيقياً، فإن الخصائص الآتية صحيحة: الخاصية الإبدالية: u · v = v · u خاصية التوزيع: u · (v + w) = u · v + u · w خاصية الضرب في عدد حقيقي: k(u · v) = ku · v = u · kv خاصية الضرب الداخلي في المتجه الصفري: 0 · u = 0 العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه: u · u = |u|²

إثبات أن: u · u = |u|² افترض أن: u = <u₁, u₂> u · u = u₁² + u₂² = (√(u₁² + u₂²))² = |u|²

ستبرهن الخصائص الثلاث الأولى في الأسئلة 35-37

مثال 2 استعمال الضرب الداخلي لإيجاد طول متجه استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول a = <-5, 12>. بما أن: |a| = √a · a ، فإن: |a|² = a · a . |<-5, 12>| = √((-5, 12) · (-5, 12)) = √((-5)² + 12²) = 13

تحقق من فهمك استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول كل من المتجهات الآتية:

الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a, b هي الزاوية بين هذين المتجهين، عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور، حيث إن: 0° ≤ θ ≤ 180°، أو 0 ≤ θ ≤ π، ويمكن استعمال الضرب الداخلي؛ لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين.

--- SECTION: مثال 1 --- مثال 1 استعمال الضرب الداخلي في التحقق من تعامد متجهين أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. a) u = <3, 6>, v = <-4, 2> u · v = 3(-4) + 6(2) = 0 بما أن u · v = 0، فإن u, v متعامدان كما هو موضح في الشكل 5.3.1. b) u = <2, 5>, v = <8, 4> u · v = 2(8) + 5(4) = 36 بما أن u · v ≠ 0، فإن u, v غير متعامدين كما هو موضح في الشكل 5.3.2. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين. 1A. u = <3, -2>, v = <-5, 1> 1B. u = <-2, -3>, v = <9, -6> يحقق الضرب الداخلي الخصائص الآتية: --- SECTION: نظرية خصائص الضرب الداخلي --- إذا كانت u, v, w متجهات، وكان k عدداً حقيقياً، فإن الخصائص الآتية صحيحة: الخاصية الإبدالية: u · v = v · u خاصية التوزيع: u · (v + w) = u · v + u · w خاصية الضرب في عدد حقيقي: k(u · v) = ku · v = u · kv خاصية الضرب الداخلي في المتجه الصفري: 0 · u = 0 العلاقة بين الضرب الداخلي وطول المتجه: u · u = |u|² --- SECTION: البرهان --- إثبات أن: u · u = |u|² افترض أن: u = <u₁, u₂> u · u = u₁² + u₂² = (√(u₁² + u₂²))² = |u|² ستبرهن الخصائص الثلاث الأولى في الأسئلة 35-37 --- SECTION: مثال 2 --- مثال 2 استعمال الضرب الداخلي لإيجاد طول متجه استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول a = <-5, 12>. بما أن: |a| = √a · a ، فإن: |a|² = a · a . |<-5, 12>| = √((-5, 12) · (-5, 12)) = √((-5)² + 12²) = 13 --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول كل من المتجهات الآتية: 2A. b = <12, 16> 2B. c = <-1, -7> الزاوية θ بين أي متجهين غير صفريين a, b هي الزاوية بين هذين المتجهين، عندما يكونان في وضع قياسي كما في الشكل المجاور، حيث إن: 0° ≤ θ ≤ 180°، أو 0 ≤ θ ≤ π، ويمكن استعمال الضرب الداخلي؛ لإيجاد قياس الزاوية بين متجهين غير صفريين. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing two perpendicular vectors u and v. Vector u is in the first quadrant and vector v is in the second quadrant. A right angle symbol is marked between them at the origin. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of perpendicular vectors u = <3, 6> and v = <-4, 2> where their dot product is zero. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing two non-perpendicular vectors u and v. Both vectors are in the first quadrant. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual representation of non-perpendicular vectors u = <2, 5> and v = <8, 4> where their dot product is non-zero (36). **DIAGRAM**: Untitled Description: Diagram showing two vectors a and b with an angle theta between them. Vector a lies along the positive x-axis, and vector b is in the second quadrant. The angle theta is marked between them. Context: Illustrates the concept of the angle between two vectors in standard position.