إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

المتجهات المتعامدة والمتجهات المتوازية يقال لمتجهين: إنهما متعامدان، إذا كانت الزاوية بينهما 90°. ويقال لمتجهين أنهما متوازيان، إذا كانت الزاوية بينهما 0° أو 180°.

إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن: cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

إذا كان: a, b, b - a أضلاع مثلث كما في الشكل أعلاه ، فإن: |b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (قانون جيوب التمام) (b - a) · (b - a) = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (|u|² = u · u) b · b - b · a - a · b + a · a = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (خاصية التوزيع للضرب الداخلي) |b|² - 2a · b + |a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (u · u = |u|²) -2a · b = -2|a| |b| cos θ (بطرح |a|² + |b|² من الطرفين) cos θ = (a · b) / (|a| |b|) (بقسمة الطرفين على -2|a| |b|)

مثال 3: إيجاد قياس الزاوية بين متجهين أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي:

a) u = <6, 2>, v = <-4, 3> الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) (الزاوية بين متجهين) cos θ = (<6, 2> · <-4, 3>) / (|<6, 2>| |<-4, 3>|) (u = <6, 2>, v = <-4, 3>) cos θ = (-24 + 6) / (√40 √25) (الضرب الداخلي لمتجهين، طول المتجه) cos θ = -18 / (10√10) (بسط) θ = cos⁻¹(-18 / (10√10)) ≈ 125° (معكوس جيب التمام) أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 125° تقريبًا، كما في الشكل أعلاه.

b) u = <3, 1>, v = <3, -3> الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) (الزاوية بين متجهين) cos θ = (<3, 1> · <3, -3>) / (|<3, 1>| |<3, -3>|) (u = <3, 1>, v = <3, -3>) cos θ = (9 + (-3)) / (√10 √18) (الضرب الداخلي لمتجهين، طول المتجه) cos θ = 6 / √180 = 6 / (6√5) = 1 / √5 (بسط) θ = cos⁻¹(1 / √5) ≈ 63° (معكوس جيب التمام) أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 63° تقريبًا، كما في الشكل المجاور.

28 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: إرشادات للدراسة --- المتجهات المتعامدة والمتجهات المتوازية يقال لمتجهين: إنهما متعامدان، إذا كانت الزاوية بينهما 90°. ويقال لمتجهين أنهما متوازيان، إذا كانت الزاوية بينهما 0° أو 180°. --- SECTION: مفهوم أساسي: الزاوية بين متجهين --- إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b ، فإن: cos θ = (a · b) / (|a| |b|) --- SECTION: البرهان --- إذا كان: a, b, b - a أضلاع مثلث كما في الشكل أعلاه ، فإن: |b - a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (قانون جيوب التمام) (b - a) · (b - a) = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (|u|² = u · u) b · b - b · a - a · b + a · a = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (خاصية التوزيع للضرب الداخلي) |b|² - 2a · b + |a|² = |a|² + |b|² - 2|a| |b| cos θ (u · u = |u|²) -2a · b = -2|a| |b| cos θ (بطرح |a|² + |b|² من الطرفين) cos θ = (a · b) / (|a| |b|) (بقسمة الطرفين على -2|a| |b|) مثال 3: إيجاد قياس الزاوية بين متجهين أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: --- SECTION: 3a --- a) u = <6, 2>, v = <-4, 3> الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) (الزاوية بين متجهين) cos θ = (<6, 2> · <-4, 3>) / (|<6, 2>| |<-4, 3>|) (u = <6, 2>, v = <-4, 3>) cos θ = (-24 + 6) / (√40 √25) (الضرب الداخلي لمتجهين، طول المتجه) cos θ = -18 / (10√10) (بسط) θ = cos⁻¹(-18 / (10√10)) ≈ 125° (معكوس جيب التمام) أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 125° تقريبًا، كما في الشكل أعلاه. --- SECTION: 3b --- b) u = <3, 1>, v = <3, -3> الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) (الزاوية بين متجهين) cos θ = (<3, 1> · <3, -3>) / (|<3, 1>| |<3, -3>|) (u = <3, 1>, v = <3, -3>) cos θ = (9 + (-3)) / (√10 √18) (الضرب الداخلي لمتجهين، طول المتجه) cos θ = 6 / √180 = 6 / (6√5) = 1 / √5 (بسط) θ = cos⁻¹(1 / √5) ≈ 63° (معكوس جيب التمام) أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 63° تقريبًا، كما في الشكل المجاور. 28 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing two vectors 'a' and 'b' originating from point 'O'. The angle between them is labeled θ. A dashed vector 'b - a' connects the endpoints of 'a' and 'b', forming a triangle. Context: Visual representation of the geometric relationship used to derive the formula for the angle between two vectors using the Law of Cosines. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing vector u starting at (0,0) and ending at (6,2), and vector v starting at (0,0) and ending at (-4,3). The angle between them is labeled 125°. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual confirmation of the calculated angle for Example 3a. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing vector u starting at (0,0) and ending at (3,1), and vector v starting at (0,0) and ending at (3,-3). The angle between them is labeled 63°. X-axis: x Y-axis: y Context: Visual confirmation of the calculated angle for Example 3b.