صفحة 30 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

تدرب وحل المسائل

نوع: محتوى تعليمي

أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

1) u = <3, -5>, v = <6, 2>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

2) u = <9, -3>, v = <1, 3>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) u = <4, -4>, v = <7, 5>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

4) u = 11i + 7j, v = -7i + 11j

نوع: QUESTION_HOMEWORK

5) u = <-4, 6>, v = <-5, -2>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

6) زيت الزيتون: يمثل المتجه u = <297, 406> أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر، ويمثل المتجه v = <15, 27.5> سعر العلبة من كلا النوعين على الترتيب (مثال 1)

نوع: محتوى تعليمي

استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

7) m = <-3, 11>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

8) r = <-9, -4>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

9) v = <1, -18>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

10) t = <23, -16>

نوع: محتوى تعليمي

أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

11) u = <0, -5>, v = <1, -4>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

12) u = <7, 10>, v = <4, -4>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

13) u = <-2, 4>, v = <2, -10>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

14) u = -2i + 3j, v = -4i - 2j

نوع: QUESTION_HOMEWORK

15) مخيم كشفي: غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه u = <3, -5> يمثل الطريق الذي سلكه يوسف، والمتجه v = <6, -7> يمثل الطريق الذي سلكه يحيى، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. (مثال 3)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

16) فيزياء: يدفع طارق برميلاً على أرض مستوية مسافة 1.5m بقوة مقدارها 534N؛ بزاوية 25°، أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق، وقرّب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. (مثال 4)

نوع: محتوى تعليمي

أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

17) <-2, -8>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

18) <3, 5>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

19) <7, -4>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

20) <-1, 6>

نوع: QUESTION_HOMEWORK

21) عجلة دوارة: يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة.

نوع: محتوى تعليمي

إذا علمت كلاً من v, u · v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي:

نوع: QUESTION_HOMEWORK

22) v = <3, -6>, u · v = 33

نوع: QUESTION_HOMEWORK

23) v = <4, 6>, u · v = 38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

24) مدرسة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100N، إذا بذل الطالب شغلاً مقداره 1747J، لسحب حقيبته مسافة 31m، فما قياس الزاوية بين قوة السحب والأفقي (بإهمال قوة الاحتكاك)؟

نوع: METADATA

30 الفصل 5 المتجهات

نوع: NON_EDUCATIONAL

وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

رسم توضيحي للعجلة الدوارة من الأعلى يظهر دائرة بمركزها. يمتد متجه نصف القطر r من المركز إلى نقطة على المحيط. عند تلك النقطة، يظهر متجه السرعة v مماسياً للدائرة. يشار إلى تعامد المتجهين r و v برمز الزاوية القائمة.

صورة توضيحية للمنظر الأمامي لعجلة دوارة (Ferris wheel) تظهر المقاعد الملونة المعلقة على إطار العجلة الدائري.

رسم توضيحي لشخص يدفع برميلاً برتقالي اللون على سطح مستوٍ. يظهر سهم يمثل قوة الدفع مقدارها 534 N موجهة نحو الأسفل واليمين بزاوية 25 درجة مع الأفقي.

رسم توضيحي لطالب يسحب حقيبة سفر مدرسية ذات عجلات. يظهر سهم يمثل قوة السحب مقدارها 100 N، ويصنع زاوية θ مع الخط الأفقي المنقط.

📄 النص الكامل للصفحة

تدرب وحل المسائل أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 1) u = <3, -5>, v = <6, 2> 2) u = <9, -3>, v = <1, 3> 3) u = <4, -4>, v = <7, 5> 4) u = 11i + 7j, v = -7i + 11j 5) u = <-4, 6>, v = <-5, -2> 6) زيت الزيتون: يمثل المتجه u = <297, 406> أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر، ويمثل المتجه v = <15, 27.5> سعر العلبة من كلا النوعين على الترتيب (مثال 1) a. أوجد u · v . b. فسر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة. استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2) 7) m = <-3, 11> 8) r = <-9, -4> 9) v = <1, -18> 10) t = <23, -16> أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3) 11) u = <0, -5>, v = <1, -4> 12) u = <7, 10>, v = <4, -4> 13) u = <-2, 4>, v = <2, -10> 14) u = -2i + 3j, v = -4i - 2j 15) مخيم كشفي: غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه u = <3, -5> يمثل الطريق الذي سلكه يوسف، والمتجه v = <6, -7> يمثل الطريق الذي سلكه يحيى، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. (مثال 3) 16) فيزياء: يدفع طارق برميلاً على أرض مستوية مسافة 1.5m بقوة مقدارها 534N؛ بزاوية 25°، أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق، وقرّب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. (مثال 4) أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 17) <-2, -8> 18) <3, 5> 19) <7, -4> 20) <-1, 6> 21) عجلة دوارة: يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة. a. إذا كان طول نصف قطر العجلة 20ft، وسرعتها ثابتة ومقدارها 40ft/s، فاكتب الصورة الإحداثية للمتجه r، إذا كان يصنع زاوية قياسها 35° مع الأفقي، ثم اكتب الصورة الإحداثية لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة قرّب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. b. ما الطريقة التي يمكن استعمالها لإثبات تعامد المتجه r، ومتجه السرعة باستعمال الصورتين الإحداثيتين اللتين أوجدتهما في الفرع a؟ وأثبت أن المتجهين متعامدان. إذا علمت كلاً من v, u · v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: 22) v = <3, -6>, u · v = 33 23) v = <4, 6>, u · v = 38 24) مدرسة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100N، إذا بذل الطالب شغلاً مقداره 1747J، لسحب حقيبته مسافة 31m، فما قياس الزاوية بين قوة السحب والأفقي (بإهمال قوة الاحتكاك)؟ 30 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي للعجلة الدوارة من الأعلى يظهر دائرة بمركزها. يمتد متجه نصف القطر r من المركز إلى نقطة على المحيط. عند تلك النقطة، يظهر متجه السرعة v مماسياً للدائرة. يشار إلى تعامد المتجهين r و v برمز الزاوية القائمة. Context: يوضح العلاقة الهندسية بين متجه الموقع (نصف القطر) ومتجه السرعة المماسية في الحركة الدائرية. **IMAGE**: Untitled Description: صورة توضيحية للمنظر الأمامي لعجلة دوارة (Ferris wheel) تظهر المقاعد الملونة المعلقة على إطار العجلة الدائري. Context: يوفر سياقاً واقعياً للمسألة الرياضية حول العجلة الدوارة. **IMAGE**: Untitled Description: رسم توضيحي لشخص يدفع برميلاً برتقالي اللون على سطح مستوٍ. يظهر سهم يمثل قوة الدفع مقدارها 534 N موجهة نحو الأسفل واليمين بزاوية 25 درجة مع الأفقي. Context: يوضح تطبيقاً فيزيائياً لحساب الشغل المبذول باستخدام الضرب الداخلي للمتجهات. **IMAGE**: Untitled Description: رسم توضيحي لطالب يسحب حقيبة سفر مدرسية ذات عجلات. يظهر سهم يمثل قوة السحب مقدارها 100 N، ويصنع زاوية θ مع الخط الأفقي المنقط. Context: يوضح تطبيقاً فيزيائياً لحساب الزاوية بمعلومية الشغل والقوة والمسافة.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 24

سؤال 1: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 1) u = <3, -5>, v = <6, 2>

الإجابة: س1: u · v = 3(6) + (-5)(2) = 8 ≠ 0 ⇒ غير متعامدين

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهان: - $u = \\langle 3, -5 \rangle$ - $v = \\langle 6, 2 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الضرب الداخلي للمتجهات في المستوى الإحداثي: $$u \\cdot v = a_1 b_1 + a_2 b_2$$ ويكون المتجهان متعامدين إذا كان ناتج الضرب الداخلي يساوي صفراً.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$u \\cdot v = (3)(6) + (-5)(2)$$ $$u \\cdot v = 18 - 10 = 8$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن $u \\cdot v = 8$ (أي لا يساوي صفراً)، فإن المتجهين **غير متعامدين**.

سؤال 2: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 2) u = <9, -3>, v = <1, 3>

الإجابة: س2: u · v = 9(1) + (-3)(3) = 0 ⇒ متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان هما: - $u = \\langle 9, -3 \rangle$ - $v = \\langle 1, 3 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق صيغة الضرب الداخلي: $$u \\cdot v = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض المباشر: $$u \\cdot v = (9)(1) + (-3)(3)$$ $$u \\cdot v = 9 - 9 = 0$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن ناتج الضرب الداخلي يساوي صفراً، إذن المتجهان **متعامدان**.

سؤال 3: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 3) u = <4, -4>, v = <7, 5>

الإجابة: س3: u · v = 4(7) + (-4)(5) = 8 ≠ 0 ⇒ غير متعامدين

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان هما: - $u = \\langle 4, -4 \rangle$ - $v = \\langle 7, 5 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب الضرب الداخلي: $$u \\cdot v = a_1 b_1 + a_2 b_2$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$u \\cdot v = (4)(7) + (-4)(5)$$ $$u \\cdot v = 28 - 20 = 8$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن الناتج $8 \neq 0$، فإن المتجهين **غير متعامدين**.

سؤال 4: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 4) u = 11i + 7j, v = -7i + 11j

الإجابة: س4: u · v = 11(-7) + 7(11) = 0 ⇒ متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان مكتوبان بدلالة متجهات الوحدة: - $u = 11i + 7j \\Rightarrow \\langle 11, 7 \rangle$ - $v = -7i + 11j \\Rightarrow \\langle -7, 11 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق الضرب الداخلي: $$u \\cdot v = (11)(-7) + (7)(11)$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالحساب: $$u \\cdot v = -77 + 77 = 0$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن الناتج صفر، إذن المتجهان **متعامدان**.

سؤال 5: أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v، ثم تحقق مما إذا كانا متعامدين أم لا. (مثال 1) 5) u = <-4, 6>, v = <-5, -2>

الإجابة: س5: u · v = (-4)(-5) + 6(-2) = 8 ≠ 0 ⇒ غير متعامدين

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجهان هما: - $u = \\langle -4, 6 \rangle$ - $v = \\langle -5, -2 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب $u \\cdot v$:
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$u \\cdot v = (-4)(-5) + (6)(-2)$$ $$u \\cdot v = 20 - 12 = 8$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** الناتج لا يساوي صفراً، إذن المتجهان **غير متعامدين**.

سؤال 6: زيت الزيتون: يمثل المتجه u = <297, 406> أعداد علبتين مختلفتين من زيت الزيتون في متجر، ويمثل المتجه v = <15, 27.5> سعر العلبة من كلا النوعين على الترتيب (مثال 1) a) أوجد u · v . b) فسر النتيجة التي حصلت عليها في الفرع a في سياق المسألة.

الإجابة: س6 (أ): 15620 س6 (ب): تمثل التكلفة الكلية لشراء العلب من النوعين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** في المسائل الحياتية، يمثل الضرب الداخلي مجموع حاصل ضرب الكميات في أسعارها المناظرة.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** أ) لإيجاد $u \\cdot v$: $$u \\cdot v = (297)(15) + (406)(27.5)$$ $$u \\cdot v = 4455 + 11165 = 15620$$ ب) تفسير النتيجة: بما أننا ضربنا عدد العلب في سعر العلبة الواحدة لكل نوع وجمعناهما، فإن الناتج يمثل التكلفة الإجمالية.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** أ) $u \\cdot v = 15620$ ب) النتيجة تمثل **التكلفة الكلية لشراء جميع العلب من النوعين**.

سؤال 7: استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2) 7) m = <-3, 11>

الإجابة: س7: |m| = √(9 + 121) = √130

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه هو $m = \\langle -3, 11 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** طول المتجه باستخدام الضرب الداخلي يُعطى بالعلاقة: $$|m| = \\sqrt{m \\cdot m} = \\sqrt{x^2 + y^2}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$|m| = \\sqrt{(-3)^2 + (11)^2}$$ $$|m| = \\sqrt{9 + 121} = \\sqrt{130}$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن طول المتجه هو **$\\sqrt{130}$**

سؤال 8: استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2) 8) r = <-9, -4>

الإجابة: س8: |r| = √(81 + 16) = √97

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه $r = \\langle -9, -4 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نطبق قانون الطول: $$|r| = \\sqrt{(-9)^2 + (-4)^2}$$ $$|r| = \\sqrt{81 + 16} = \\sqrt{97}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن طول المتجه هو **$\\sqrt{97}$**

سؤال 9: استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2) 9) v = <1, -18>

الإجابة: س9: |v| = √(1 + 324) = 5√13

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه $v = \\langle 1, -18 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الطول: $$|v| = \\sqrt{(1)^2 + (-18)^2}$$ $$|v| = \\sqrt{1 + 324} = \\sqrt{325}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بتبسيط الجذر (بما أن $325 = 25 \times 13$): إذن طول المتجه هو **$5\\sqrt{13}$**

سؤال 10: استعمل الضرب الداخلي؛ لإيجاد طول المتجه المعطى. (مثال 2) 10) t = <23, -16>

الإجابة: س10: |t| = √(529 + 256) = √785

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المتجه $t = \\langle 23, -16 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الطول: $$|t| = \\sqrt{(23)^2 + (-16)^2}$$ $$|t| = \\sqrt{529 + 256} = \\sqrt{785}$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن طول المتجه هو **$\\sqrt{785}$**

سؤال 11: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3) 11) u = <0, -5>, v = <1, -4>

الإجابة: س11: θ ≈ 14.0°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $u = \\langle 0, -5 \rangle$ - $v = \\langle 1, -4 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الزاوية بين متجهين: $$\\cos \theta = \frac{u \\cdot v}{|u| |v|}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** 1. الضرب الداخلي: $u \\cdot v = (0)(1) + (-5)(-4) = 20$ 2. طول $u$: $|u| = \\sqrt{0^2 + (-5)^2} = 5$ 3. طول $v$: $|v| = \\sqrt{1^2 + (-4)^2} = \\sqrt{17}$ 4. التعويض: $\\cos \theta = \frac{20}{5\\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}}$ 5. إيجاد الزاوية: $\theta = \\cos^{-1}(\frac{4}{\\sqrt{17}})$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالحاسبة، نجد أن $\theta \\approx 14.0^\\circ$

سؤال 12: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3) 12) u = <7, 10>, v = <4, -4>

الإجابة: س12: θ ≈ 100.0°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $u = \\langle 7, 10 \rangle$ - $v = \\langle 4, -4 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** 1. $u \\cdot v = (7)(4) + (10)(-4) = 28 - 40 = -12$ 2. $|u| = \\sqrt{49 + 100} = \\sqrt{149}$ 3. $|v| = \\sqrt{16 + 16} = \\sqrt{32}$ 4. $\\cos \theta = \frac{-12}{\\sqrt{149} \\cdot \\sqrt{32}}$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** باستخدام الآلة الحاسبة: $\theta = \\cos^{-1}(\frac{-12}{\\sqrt{4768}}) \\approx 100.0^\\circ$

سؤال 13: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3) 13) u = <-2, 4>, v = <2, -10>

الإجابة: س13: θ ≈ 164.7°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $u = \\langle -2, 4 \rangle$ - $v = \\langle 2, -10 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** 1. $u \\cdot v = (-2)(2) + (4)(-10) = -4 - 40 = -44$ 2. $|u| = \\sqrt{4 + 16} = \\sqrt{20}$ 3. $|v| = \\sqrt{4 + 100} = \\sqrt{104}$ 4. $\\cos \theta = \frac{-44}{\\sqrt{20} \\cdot \\sqrt{104}}$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $\theta = \\cos^{-1}(\frac{-44}{\\sqrt{2080}}) \\approx 164.7^\\circ$

سؤال 14: أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرّب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 3) 14) u = -2i + 3j, v = -4i - 2j

الإجابة: س14: θ ≈ 82.9°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $u = \\langle -2, 3 \rangle$ - $v = \\langle -4, -2 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** 1. $u \\cdot v = (-2)(-4) + (3)(-2) = 8 - 6 = 2$ 2. $|u| = \\sqrt{4 + 9} = \\sqrt{13}$ 3. $|v| = \\sqrt{16 + 4} = \\sqrt{20}$ 4. $\\cos \theta = \frac{2}{\\sqrt{13} \\cdot \\sqrt{20}}$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $\theta = \\cos^{-1}(\frac{2}{\\sqrt{260}}) \\approx 82.9^\\circ$

سؤال 15: مخيم كشفي: غادر يوسف ويحيى مخيمهما الكشفي للبحث عن حطب. إذا كان المتجه u = <3, -5> يمثل الطريق الذي سلكه يوسف، والمتجه v = <6, -7> يمثل الطريق الذي سلكه يحيى، فأوجد قياس الزاوية بين المتجهين. (مثال 3)

الإجابة: س15: θ ≈ 161.6°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - طريق يوسف: $u = \\langle 3, -5 \rangle$ - طريق يحيى: $v = \\langle 6, -7 \rangle$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** 1. $u \\cdot v = (3)(6) + (-5)(-7) = 18 + 35 = 53$ 2. $|u| = \\sqrt{9 + 25} = \\sqrt{34}$ 3. $|v| = \\sqrt{36 + 49} = \\sqrt{85}$ 4. $\\cos \theta = \frac{53}{\\sqrt{34} \\cdot \\sqrt{85}}$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بالحساب: $\theta = \\cos^{-1}(\frac{53}{\\sqrt{2890}}) \\approx 161.6^\\circ$

سؤال 16: فيزياء: يدفع طارق برميلاً على أرض مستوية مسافة 1.5m بقوة مقدارها 534N؛ بزاوية 25°، أوجد مقدار الشغل بالجول الذي يبذله طارق، وقرّب الناتج إلى أقرب عدد صحيح. (مثال 4)

الإجابة: س16: W = 534(1.5) cos 25° ≈ 726 J

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - القوة: $F = 534 N$ - الإزاحة: $d = 1.5 m$ - الزاوية: $\theta = 25^\\circ$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** الشغل المبذول بواسطة قوة ثابتة يُحسب بالقانون: $$W = F \\cdot d \\cdot \\cos \theta$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$W = 534 \times 1.5 \times \\cos 25^\\circ$$ $$W = 801 \times 0.9063 \\approx 725.95$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالتقريب لأقرب عدد صحيح، الشغل المبذول هو **726 J**

سؤال 17: أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 17) <-2, -8>

الإجابة: س17: مثال: <8, -2>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لإيجاد متجه يعامد المتجه $\\langle a, b \rangle$، يمكننا تبديل الإحداثيات وتغيير إشارة أحدهما لتصبح $\\langle b, -a \rangle$ أو $\\langle -b, a \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** المتجه المعطى هو $\\langle -2, -8 \rangle$. بتبديل الأماكن وتغيير إشارة الإحداثي الأول: تصبح $\\langle 8, -2 \rangle$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** لنتحقق: $(-2)(8) + (-8)(-2) = -16 + 16 = 0$. إذن المتجه هو **$\\langle 8, -2 \rangle$** (أو أي مضاعف له).

سؤال 18: أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 18) <3, 5>

الإجابة: س18: مثال: <-5, 3>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نحتاج لمتجه ناتج ضربه الداخلي مع $\\langle 3, 5 \rangle$ يساوي صفراً.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نبدل الإحداثيات ونغير إشارة أحدهما: $\\langle -5, 3 \rangle$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحقق: $(3)(-5) + (5)(3) = -15 + 15 = 0$. إذن المتجه هو **$\\langle -5, 3 \rangle$**.

سؤال 19: أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 19) <7, -4>

الإجابة: س19: مثال: <4, 7>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتجه المعطى هو $\\langle 7, -4 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نبدل المواقع ونغير إشارة الإحداثي الثاني مثلاً: $\\langle 4, 7 \rangle$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحقق: $(7)(4) + (-4)(7) = 28 - 28 = 0$. إذن المتجه هو **$\\langle 4, 7 \rangle$**.

سؤال 20: أوجد متجهًا يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 20) <-1, 6>

الإجابة: س20: مثال: <6, 1>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** المتجه المعطى هو $\\langle -1, 6 \rangle$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نبدل المواقع ونغير إشارة الإحداثي الأول: $\\langle 6, 1 \rangle$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** التحقق: $(-1)(6) + (6)(1) = -6 + 6 = 0$. إذن المتجه هو **$\\langle 6, 1 \rangle$**.

سؤال 21: عجلة دوارة: يعامد المتجه r في العجلة الدوارة في الوضع القياسي متجه السرعة المماسية v عند أي نقطة من نقاط الدائرة. a) إذا كان طول نصف قطر العجلة 20ft، وسرعتها ثابتة ومقدارها 40ft/s، فاكتب الصورة الإحداثية للمتجه r، إذا كان يصنع زاوية قياسها 35° مع الأفقي، ثم اكتب الصورة الإحداثية لمتجه السرعة المماسية في هذه الحالة قرّب الناتج إلى أقرب جزء من مئة. b) ما الطريقة التي يمكن استعمالها لإثبات تعامد المتجه r، ومتجه السرعة باستعمال الصورتين الإحداثيتين اللتين أوجدتهما في الفرع a؟ وأثبت أن المتجهين متعامدان.

الإجابة: س21 (أ): r⃗ ≈ <16.4, 11.5>, v⃗ ≈ <22.9, -32.8> س21 (ب): r⃗ · v⃗ = 0 ⇒ متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - نصف القطر: $|r| = 20 ft$ - السرعة: $|v| = 40 ft/s$ - زاوية $r$: $35^\\circ$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** أ) الصورة الإحداثية لـ $r$: $\\langle 20 \\cos 35^\\circ, 20 \\sin 35^\\circ \rangle \\approx \\langle 16.38, 11.47 \rangle$. بما أن $v$ يعامد $r$ وسرعته ثابتة، وزاوية $v$ ستكون $35^\\circ + 90^\\circ = 125^\\circ$: الصورة الإحداثية لـ $v$: $\\langle 40 \\cos 125^\\circ, 40 \\sin 125^\\circ \rangle \\approx \\langle -22.94, 32.77 \rangle$. ب) لإثبات التعامد، نستخدم الضرب الداخلي: $r \\cdot v = (16.38)(-22.94) + (11.47)(32.77) \\approx 0$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** أ) $r \\approx \\langle 16.4, 11.5 \rangle, v \\approx \\langle -22.9, 32.8 \rangle$ ب) الطريقة هي **الضرب الداخلي**، وبما أن $r \\cdot v = 0$ فهما متعامدان.

سؤال 22: إذا علمت كلاً من v, u · v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: 22) v = <3, -6>, u · v = 33

الإجابة: س22: u = <11, 0>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $v = \\langle 3, -6 \rangle$ - $u \\cdot v = 33$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نفرض أن $u = \\langle x, y \rangle$. إذن: $$3x - 6y = 33$$ لإيجاد قيمة ممكنة، يمكننا فرض $y = 0$: $$3x = 33 \\Rightarrow x = 11$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة ممكنة للمتجه هي **$u = \\langle 11, 0 \rangle$**.

سؤال 23: إذا علمت كلاً من v, u · v، فأوجد قيمة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: 23) v = <4, 6>, u · v = 38

الإجابة: س23: u = <8, 1>

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - $v = \\langle 4, 6 \rangle$ - $u \\cdot v = 38$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نفرض $u = \\langle x, y \rangle$. إذن: $$4x + 6y = 38$$ بالتجريب، إذا وضعنا $y = 1$: $$4x + 6 = 38 \\Rightarrow 4x = 32 \\Rightarrow x = 8$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن قيمة ممكنة للمتجه هي **$u = \\langle 8, 1 \rangle$**.

سؤال 24: مدرسة: يسحب طالب حقيبته المدرسية بقوة مقدارها 100N، إذا بذل الطالب شغلاً مقداره 1747J، لسحب حقيبته مسافة 31m، فما قياس الزاوية بين قوة السحب والأفقي (بإهمال قوة الاحتكاك)؟

الإجابة: cos θ = 1747 / 3100 ⇒ θ ≈ 55.7°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** - القوة $F = 100 N$ - الشغل $W = 1747 J$ - المسافة $d = 31 m$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم قانون الشغل لإيجاد الزاوية: $$W = F \\cdot d \\cdot \\cos \theta \\Rightarrow \\cos \theta = \frac{W}{F \\cdot d}$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض: $$\\cos \theta = \frac{1747}{100 \times 31} = \frac{1747}{3100} \\approx 0.5635$$ إذن: $\theta = \\cos^{-1}(0.5635)$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** بالحساب، نجد أن الزاوية **$\theta \\approx 55.7^\\circ$**