فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد Vectors in Three-Dimensional Space

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

درست المتجهات في النظام الثنائي الأبعاد هندسيًّا وجبريًّا. الدرس (1-5)

• أعيّن نقاطًا، ومتجهات في النظام الإحداثي الثلاثي الأبعاد. • أعبّر عن المتجهات جبريًّا، وأجري العمليات عليها في الفضاء الثلاثي الأبعاد.

نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد three-dimensional coordinate system المحور z (z-axis) الثمن (octant) الثلاثي المرتب (ordered triple)

لإطلاق صاروخ في الفضاء، يلزم تحديد اتجاهه وزاويته في الفضاء. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى، فلا بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد.

المستوى الإحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي الأبعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين، هما المحور x والمحور y، اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة الأصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى، وتحتاج إلى نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد؛ لتعيين نقطة في الفضاء، فنبدأ بالمستوى xy، ونضعه بصورة تُظهر عمقًا للشكل كما في الشكل 5.4.1، ثم نضيف محورًا ثالثًا يُسمّى المحور z يمر بنقطة الأصل، ويعامد كلًّا من المحورين x, y كما في الشكل 5.4.2. فيكون لدينا ثلاثة مستويات هي xy, yz, xz، وتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق، يُسمّى كل منها الثمن، ويمكن تمثيل الثمن الأول بجزء الحجرة في الشكل 5.4.3.

تُمثّل النقطة في الفضاء بثلاثيات مرتبة من الأعداد الحقيقية (x, y, z)، ولتعيين مثل هذه النقطة، عيّن أولاً النقطة (x, y) في المستوى xy، ثم تحرك لأعلى، أو إلى أسفل موازيًا للمحور z، بحسب المسافة المتجهة التي يُمثلها z.

تعيين نقطة في الفضاء عيّن كلًّا من النقطتين الآتيتين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: a) (4, 6, 2) b) (-2, 4, -5)

تدريج المحاور: تذكر أن التدريج في المحاور الثلاثة في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد متساوٍ.

عيّن كلًّا من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:

5-4 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد Vectors in Three-Dimensional Space رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa --- SECTION: فيما سبق --- درست المتجهات في النظام الثنائي الأبعاد هندسيًّا وجبريًّا. الدرس (1-5) --- SECTION: والآن --- • أعيّن نقاطًا، ومتجهات في النظام الإحداثي الثلاثي الأبعاد. • أعبّر عن المتجهات جبريًّا، وأجري العمليات عليها في الفضاء الثلاثي الأبعاد. --- SECTION: المفردات --- نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد three-dimensional coordinate system المحور z (z-axis) الثمن (octant) الثلاثي المرتب (ordered triple) --- SECTION: لماذا؟ --- لإطلاق صاروخ في الفضاء، يلزم تحديد اتجاهه وزاويته في الفضاء. وبما أن مفاهيم المسافة والسرعة والقوة المتجهة غير مقيدة في المستوى، فلا بد من توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء الثلاثي الأبعاد. --- SECTION: الإحداثيات في الفضاء الثلاثي الأبعاد --- المستوى الإحداثي: هو نظام إحداثي ثنائي الأبعاد يتشكل بواسطة خطي أعداد متعامدين، هما المحور x والمحور y، اللذان يتقاطعان في نقطة تسمى نقطة الأصل. ويسمح لك هذا النظام بتحديد وتعيين نقاط في المستوى، وتحتاج إلى نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد؛ لتعيين نقطة في الفضاء، فنبدأ بالمستوى xy، ونضعه بصورة تُظهر عمقًا للشكل كما في الشكل 5.4.1، ثم نضيف محورًا ثالثًا يُسمّى المحور z يمر بنقطة الأصل، ويعامد كلًّا من المحورين x, y كما في الشكل 5.4.2. فيكون لدينا ثلاثة مستويات هي xy, yz, xz، وتقسم هذه المستويات الفضاء إلى ثماني مناطق، يُسمّى كل منها الثمن، ويمكن تمثيل الثمن الأول بجزء الحجرة في الشكل 5.4.3. تُمثّل النقطة في الفضاء بثلاثيات مرتبة من الأعداد الحقيقية (x, y, z)، ولتعيين مثل هذه النقطة، عيّن أولاً النقطة (x, y) في المستوى xy، ثم تحرك لأعلى، أو إلى أسفل موازيًا للمحور z، بحسب المسافة المتجهة التي يُمثلها z. --- SECTION: مثال 1 --- تعيين نقطة في الفضاء عيّن كلًّا من النقطتين الآتيتين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: a) (4, 6, 2) b) (-2, 4, -5) a. (4, 6, 2) b. (-2, 4, -5) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- تدريج المحاور: تذكر أن التدريج في المحاور الثلاثة في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد متساوٍ. --- SECTION: تحقق من فهمك --- عيّن كلًّا من النقاط الآتية في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: 1A. (-3, -4, 2) 1B. (3, 2, -3) 1C. (5, -4, -1) --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم يوضح المحورين x و y في منظور ثلاثي الأبعاد، حيث يظهر المحور x مائلاً للأمام والمحور y أفقيًا. X-axis: x Y-axis: y **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم يوضح المحاور الثلاثة x, y, z متعامدة في نقطة الأصل O. المحور z رأسي، والمحور y أفقي، والمحور x مائل. X-axis: x+ Y-axis: y+ **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي للمستويات الإحداثية الثلاثة (xy, yz, xz) وهي تتقاطع لتشكل أثمانًا، مع تمثيل الثمن الأول كزاوية غرفة. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للنقطة (4, 6, 2) في الفضاء. يظهر المسار من نقطة الأصل: 4 وحدات على المحور x الموجب، ثم 6 وحدات موازية للمحور y الموجب، ثم وحدتان للأعلى موازية للمحور z الموجب. **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للنقطة (-2, 4, -5) في الفضاء. يظهر المسار من نقطة الأصل: وحدتان على المحور x السالب (للخلف)، ثم 4 وحدات موازية للمحور y الموجب، ثم 5 وحدات للأسفل موازية للمحور z السالب.