مثال 4 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

العمليات على المتجهات في الفضاء

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: y = <3, -6, 2>, w = <-1, 4, -4>, z = <-2, 0, 5> : a) 4y + 2z الحل: 4y + 2z = 4<3, -6, 2> + 2<-2, 0, 5> (عوض) = <12, -24, 8> + <-4, 0, 10> (اضرب متجهًا في عدد حقيقي) = <8, -24, 18> (اجمع المتجهين) b) 2w - z + 3y الحل: 2w - z + 3y = 2<-1, 4, -4> - <-2, 0, 5> + 3<3, -6, 2> (عوض) = <-2, 8, -8> + <2, 0, -5> + <9, -18, 6> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = <9, -10, -7> (اجمع المتجهات)

العمليات على المتجهات: خصائص العمليات على المتجهات في الفضاء هي الخصائص نفسها في المستوى الإحداثي.

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: y = <3, -6, 2>, w = <-1, 4, -4>, z = <-2, 0, 5> :

وكما في المتجهات ذات البعدين، نجد الصورة الإحداثية للمتجه AB الذي نقطة بدايته A(x1, y1, z1) ونقطة نهايته B(x2, y2, z2)، وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB = <x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1> وعندها يكون: |AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) وهذا يعني أنه إذا كان: AB = <a1, a2, a3> ، فإن: |AB| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB هو u = AB / |AB|

التعبير عن المتجهات في الفضاء جبرياً

أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB الذي نقطة بدايته A(-4, -2, 1)، ونقطة نهايته B(3, 6, -6)، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB. الحل: الصورة الإحداثية لمتجه: AB = <x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1> = <3 - (-4), 6 - (-2), -6 - 1> = <7, 8, -7> وباستعمال الصورة الإحداثية، فإن طول AB هو: |AB| = sqrt(7^2 + 8^2 + (-7)^2) = sqrt(162) = 9*sqrt(2) ويستعمل هذا الطول والصورة الإحداثية؛ لإيجاد متجه وحدة u باتجاه AB كما يأتي: u = AB / |AB| (متجه وحدة باتجاه AB) = <7, 8, -7> / (9*sqrt(2)) = <(7*sqrt(2))/18, (4*sqrt(2))/9, (-7*sqrt(2))/18>

أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB في كل مما يأتي:

العمليات على المتجهات في الفضاء --- SECTION: مثال 4 --- أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: y = <3, -6, 2>, w = <-1, 4, -4>, z = <-2, 0, 5> : a) 4y + 2z الحل: 4y + 2z = 4<3, -6, 2> + 2<-2, 0, 5> (عوض) = <12, -24, 8> + <-4, 0, 10> (اضرب متجهًا في عدد حقيقي) = <8, -24, 18> (اجمع المتجهين) b) 2w - z + 3y الحل: 2w - z + 3y = 2<-1, 4, -4> - <-2, 0, 5> + 3<3, -6, 2> (عوض) = <-2, 8, -8> + <2, 0, -5> + <9, -18, 6> (اضرب متجه في عدد حقيقي) = <9, -10, -7> (اجمع المتجهات) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- العمليات على المتجهات: خصائص العمليات على المتجهات في الفضاء هي الخصائص نفسها في المستوى الإحداثي. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: y = <3, -6, 2>, w = <-1, 4, -4>, z = <-2, 0, 5> : 4A. 4w - 8z 4B. 3y + 3z - 6w وكما في المتجهات ذات البعدين، نجد الصورة الإحداثية للمتجه AB الذي نقطة بدايته A(x1, y1, z1) ونقطة نهايته B(x2, y2, z2)، وذلك بطرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية. AB = <x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1> وعندها يكون: |AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2) وهذا يعني أنه إذا كان: AB = <a1, a2, a3> ، فإن: |AB| = sqrt(a1^2 + a2^2 + a3^2) ويكون متجه الوحدة u باتجاه AB هو u = AB / |AB| --- SECTION: مثال 5 --- التعبير عن المتجهات في الفضاء جبرياً --- SECTION: مثال 5 --- أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB الذي نقطة بدايته A(-4, -2, 1)، ونقطة نهايته B(3, 6, -6)، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB. الحل: الصورة الإحداثية لمتجه: AB = <x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1> = <3 - (-4), 6 - (-2), -6 - 1> = <7, 8, -7> وباستعمال الصورة الإحداثية، فإن طول AB هو: |AB| = sqrt(7^2 + 8^2 + (-7)^2) = sqrt(162) = 9*sqrt(2) ويستعمل هذا الطول والصورة الإحداثية؛ لإيجاد متجه وحدة u باتجاه AB كما يأتي: u = AB / |AB| (متجه وحدة باتجاه AB) = <7, 8, -7> / (9*sqrt(2)) = <(7*sqrt(2))/18, (4*sqrt(2))/9, (-7*sqrt(2))/18> --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الصورة الإحداثية، وطول AB المعطاة نقطتا بدايته ونهايته، ثم أوجد متجه الوحدة باتجاه AB في كل مما يأتي: 5A. A(-2, -5, -5), B(-1, 4, -2) 5B. A(-1, 4, 6), B(3, 3, 8) --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي يظهر متجهًا AB في نظام إحداثي ثلاثي الأبعاد. يبدأ المتجه من النقطة A(x1, y1, z1) وينتهي عند النقطة B(x2, y2, z2). تظهر خطوط متقطعة زرقاء لتوضيح مساقط النقاط على المستويات الإحداثية والمحاور لتحديد موقعها الفراغي. X-axis: x Y-axis: y Context: يوضح الرسم كيفية تمثيل المتجه فراغيًا باستخدام إحداثيات نقطتي البداية والنهاية في الأبعاد الثلاثة.