مفهوم أساسي: صيغتا المسافة ونقطة المنتصف في الفضاء - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

عملية إيجاد المسافة بين نقطتين، وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة، ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي.

تُعطى المسافة بين النقطتين A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) بالصيغة: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] وتُعطى نقطة المنتصف M لـ AB بالصيغة: M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)

رحلة: تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة، تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خلابة. إذا مُثلت المنصتان بالنقطتين: (10, 12, 50) , (70, 92, 30)، وكانت الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: a) أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنصتين إلى أقرب قدم. b) أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين.

الحل لـ (a): استعمل صيغة المسافة بين نقطتين. صيغة المسافة: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(70 - 10)² + (92 - 12)² + (30 - 50)²] بسط: ≈ 101.98 أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 102 ft تقريبًا للربط بين المنصتين.

الحل لـ (b): استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء. صيغة المنتصف: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) = ((10 + 70)/2, (12 + 92)/2, (50 + 30)/2) = (40, 52, 40) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (40, 52, 40).

تحقق من فهمك

2) طائرات: تفرض أنظمة السلامة ألا تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها، إذا علمت أن طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق، وفي لحظة معينة كانت إحداثيات موقعي الطائرتين: (300, 30000, 150) , (-250, 28000, 450)، مع العلم بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: A) هل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة؟ B) إذا أطلقت ألعاب نارية، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين، فما إحداثيات نقطة الانفجار؟ إرشاد: الميل = 5280 قدمًا

يستمتع سكان البنايات الشاهقة، خصوصًا في الأماكن المرتفعة، بمشاهدة أجزاء من المدينة كالجسور وحركة المرور، والحدائق ... إلخ .

34 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

عملية إيجاد المسافة بين نقطتين، وإيجاد نقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء تشبهان عملية إيجاد المسافة، ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي. --- SECTION: مفهوم أساسي: صيغتا المسافة ونقطة المنتصف في الفضاء --- تُعطى المسافة بين النقطتين A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) بالصيغة: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] وتُعطى نقطة المنتصف M لـ AB بالصيغة: M((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) --- SECTION: مثال 2 من واقع الحياة: المسافة بين نقطتين ونقطة منتصف قطعة مستقيمة في الفضاء --- رحلة: تتحرك العربة في الشكل المجاور على سلسلة مشدودة، تربط بين منصتين تسمح للمتنزهين بالمرور فوق مناظر طبيعية خلابة. إذا مُثلت المنصتان بالنقطتين: (10, 12, 50) , (70, 92, 30)، وكانت الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: a) أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنصتين إلى أقرب قدم. b) أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين. a. أوجد طول السلسلة اللازمة للربط بين المنصتين إلى أقرب قدم. b. أوجد إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين. الحل لـ (a): استعمل صيغة المسافة بين نقطتين. صيغة المسافة: AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²] = √[(70 - 10)² + (92 - 12)² + (30 - 50)²] بسط: ≈ 101.98 أي أننا نحتاج إلى حبل طوله 102 ft تقريبًا للربط بين المنصتين. الحل لـ (b): استعمل صيغة نقطة المنتصف في الفضاء. صيغة المنتصف: M = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2) = ((10 + 70)/2, (12 + 92)/2, (50 + 30)/2) = (40, 52, 40) أي أن إحداثيات منتصف المسافة بين المنصتين هي (40, 52, 40). تحقق من فهمك --- SECTION: 2 --- 2) طائرات: تفرض أنظمة السلامة ألا تقل المسافة بين الطائرات عن 0.5 mi في أثناء طيرانها، إذا علمت أن طائرتين تطيران فوق إحدى المناطق، وفي لحظة معينة كانت إحداثيات موقعي الطائرتين: (300, 30000, 150) , (-250, 28000, 450)، مع العلم بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام، فأجب عما يأتي: A) هل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة؟ B) إذا أطلقت ألعاب نارية، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين، فما إحداثيات نقطة الانفجار؟ إرشاد: الميل = 5280 قدمًا A. هل تخالف الطائرتان أنظمة السلامة؟ B. إذا أطلقت ألعاب نارية، وانفجرت في منتصف المسافة بين الطائرتين، فما إحداثيات نقطة الانفجار؟ --- SECTION: الربط مع الحياة --- يستمتع سكان البنايات الشاهقة، خصوصًا في الأماكن المرتفعة، بمشاهدة أجزاء من المدينة كالجسور وحركة المرور، والحدائق ... إلخ . 34 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a three-dimensional coordinate system with x, y, and z axes. Two points are plotted: A(x₁, y₁, z₁) and B(x₂, y₂, z₂). A line segment connects them, and a point M is marked as the midpoint of the segment. The origin O is at the intersection of the axes. **FIGURE**: Untitled Description: An illustration of a cable car system in a forest. A cable car is suspended on a wire between two wooden platforms. The left platform is higher, labeled '50 ft'. The right platform is lower, labeled '30 ft'. A river flows below the cable car, and there are green trees and a path in the background. Key Values: 50 ft (height of platform A), 30 ft (height of platform B) Context: Visual representation for Example 2 to help calculate distance and midpoint in a real-world scenario. **IMAGE**: Untitled Description: A photograph of a tall, modern residential skyscraper with many balconies, set against a clear sky. Context: Relates to the 'Connection to Life' sidebar about living in high-rise buildings.