مثال 3 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

المتجهات في الفضاء: إذا كان v متجهاً في الفضاء في وضع قياسي، وكانت (v1, v2, v3) نقطة نهايته، فإننا نعبر عنه بالصورة الإحداثية ⟨v1, v2, v3⟩، كما يُعبّر عن المتجه الصفري بالصورة الإحداثية ⟨0, 0, 0⟩ = 0، وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة الإحداثية i = ⟨1, 0, 0⟩, j = ⟨0, 1, 0⟩, k = ⟨0, 0, 1⟩، كما في الشكل 5.4.4، ويمكن التعبير عن الصورة الإحداثية للمتجه v على صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة i, j, k كما يأتي: v = v1i + v2j + v3k = ⟨v1, v2, v3⟩.

مثال 3: تعيين متجه في الفضاء مثّل بيانياً كلاً من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:

تحقق من فهمك مثّل بيانياً كلاً من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:

إذا كُتبت المتجهات في الفضاء على الصورة الإحداثية، فإنه يمكن أن تُجرى عليها عمليات الجمع، والطرح، والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى الإحداثي.

مفهوم أساسي: العمليات على المتجهات في الفضاء إذا كان ⟨a1, a2, a3⟩ = a، ⟨b1, b2, b3⟩ = b متجهين في الفضاء، وكان k عدداً حقيقياً، فإن: جمع متجهين: a + b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩ طرح متجهين: a - b = a + (-b) = ⟨a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3⟩ ضرب متجه في عدد حقيقي: ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩

الدرس 4-5 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 35

المتجهات في الفضاء: إذا كان v متجهاً في الفضاء في وضع قياسي، وكانت (v1, v2, v3) نقطة نهايته، فإننا نعبر عنه بالصورة الإحداثية ⟨v1, v2, v3⟩، كما يُعبّر عن المتجه الصفري بالصورة الإحداثية ⟨0, 0, 0⟩ = 0، وعن متجهات الوحدة القياسية بالصورة الإحداثية i = ⟨1, 0, 0⟩, j = ⟨0, 1, 0⟩, k = ⟨0, 0, 1⟩، كما في الشكل 5.4.4، ويمكن التعبير عن الصورة الإحداثية للمتجه v على صورة توافق خطي لمتجهات الوحدة i, j, k كما يأتي: v = v1i + v2j + v3k = ⟨v1, v2, v3⟩. --- SECTION: مثال 3 --- مثال 3: تعيين متجه في الفضاء مثّل بيانياً كلاً من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: a. v = ⟨3, 4, -2⟩ عيّن النقطة (3, 4, -2)، ثم مثّل المتجه v بيانياً، بحيث تكون النقطة (3, 4, -2) نقطة نهايته. b. p = 4i + 3j + k عيّن النقطة (4, 3, 1)، ثم مثّل المتجه p بيانياً، بحيث تكون النقطة (4, 3, 1) نقطة نهايته. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك مثّل بيانياً كلاً من المتجهين الآتيين في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد: 3A. u = ⟨-4, 2, -3⟩ 3B. w = -i - 3j + 4k إذا كُتبت المتجهات في الفضاء على الصورة الإحداثية، فإنه يمكن أن تُجرى عليها عمليات الجمع، والطرح، والضرب في عدد حقيقي كما هي الحال في المتجهات في المستوى الإحداثي. --- SECTION: مفهوم أساسي: العمليات على المتجهات في الفضاء --- مفهوم أساسي: العمليات على المتجهات في الفضاء إذا كان ⟨a1, a2, a3⟩ = a، ⟨b1, b2, b3⟩ = b متجهين في الفضاء، وكان k عدداً حقيقياً، فإن: جمع متجهين: a + b = ⟨a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3⟩ طرح متجهين: a - b = a + (-b) = ⟨a1 - b1, a2 - b2, a3 - b3⟩ ضرب متجه في عدد حقيقي: ka = ⟨ka1, ka2, ka3⟩ الدرس 4-5 المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد 35 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: يوضح الشكل متجهات الوحدة القياسية i, j, k في الفضاء الثلاثي الأبعاد. المتجه i يقع على محور x بطول وحدة واحدة (1, 0, 0)، والمتجه j يقع على محور y بطول وحدة واحدة (0, 1, 0)، والمتجه k يقع على محور z بطول وحدة واحدة (0, 0, 1). كما يظهر متجه عام v ينتهي عند النقطة (v1, v2, v3). X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للمتجه v = ⟨3, 4, -2⟩. يبدأ المتجه من نقطة الأصل (0, 0, 0) وينتهي عند النقطة (3, 4, -2). تظهر خطوط منقطة توضح المسار: 3 وحدات على محور x الموجب، ثم 4 وحدات موازية لمحور y الموجب، ثم وحدتان للأسفل موازية لمحور z السالب. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: تمثيل بياني للمتجه p = 4i + 3j + k. يبدأ المتجه من نقطة الأصل (0, 0, 0) وينتهي عند النقطة (4, 3, 1). تظهر خطوط منقطة توضح المسار: 4 وحدات على محور x الموجب، ثم 3 وحدات موازية لمحور y الموجب، ثم وحدة واحدة للأعلى موازية لمحور z الموجب. X-axis: x Y-axis: y