فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء Dot and Cross Products of Vectors in Space

درست الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى. (الدرس 3-5)

• أجد الضرب الداخلي لمتجهين، والزاوية بينهما في الفضاء. • أجد الضرب الاتجاهي للمتجهات، وأستعمله في إيجاد المساحات والحجوم.

الضرب الاتجاهي cross product متوازي السطوح parallelepiped الضرب القياسي الثلاثي triple scalar product

يستعمل طارق المتجهات؛ ليتحقق مما إذا كان خطّا سير طائرتين متوازيين أم لا؛ وذلك بمعرفة إحداثيات نقطتي الإقلاع، ونقطتين تصلان إليهما بعد فترة زمنية معينة.

الضرب الداخلي في الفضاء: إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء يشبه إيجاده لمتجهين في المستوى، وكما هي الحال مع المتجهات في المستوى، يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرًا.

يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ , b = ⟨b₁, b₂, b₃⟩ في الفضاء كالآتي: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ويكون المتجهان غير الصفريين a, b متعامدين، إذا وفقط إذا كان a · b = 0

إيجاد الضرب الداخلي لتحديد المتجهات المتعامدة أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: a) u = ⟨-7, 3, -3⟩, v = ⟨5, 17, 5⟩ u · v = -7(5) + 3(17) + (-3)(5) = -35 + 51 + (-15) = 1 وبما أن u · v ≠ 0 ، فإن u, v غير متعامدين. b) u = ⟨3, -3, 3⟩, v = ⟨4, 7, 3⟩ u · v = 3(4) + (-3)(7) + 3(3) = 12 + (-21) + 9 = 0 وبما أن u · v = 0 ، فإن u, v متعامدان.

أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا:

وكما هو في المتجهات في المستوى، إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b في الفضاء فإن cos θ = (a · b) / (|a| |b|)

الزاوية بين متجهين في الفضاء أوجد قياس الزاوية θ بين u, v ، إذا كان: u = ⟨3, 2, -1⟩, v = ⟨-4, 3, -2⟩ ، إلى أقرب جزء من عشرة. الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) cos θ = (⟨3, 2, -1⟩ · ⟨-4, 3, -2⟩) / (|⟨3, 2, -1⟩| |⟨-4, 3, -2⟩|) cos θ = -4 / (√14 √29) θ = cos⁻¹(-4 / √406) ≈ 101.5° أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 101.5° تقريبًا.

2) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين: u = -4i + 2j + k, v = 4i + 3k ، إلى أقرب منزلة عشرية.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء Dot and Cross Products of Vectors in Space --- SECTION: فيما سبق --- درست الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى. (الدرس 3-5) --- SECTION: والآن --- • أجد الضرب الداخلي لمتجهين، والزاوية بينهما في الفضاء. • أجد الضرب الاتجاهي للمتجهات، وأستعمله في إيجاد المساحات والحجوم. --- SECTION: المفردات --- الضرب الاتجاهي cross product متوازي السطوح parallelepiped الضرب القياسي الثلاثي triple scalar product --- SECTION: لماذا؟ --- يستعمل طارق المتجهات؛ ليتحقق مما إذا كان خطّا سير طائرتين متوازيين أم لا؛ وذلك بمعرفة إحداثيات نقطتي الإقلاع، ونقطتين تصلان إليهما بعد فترة زمنية معينة. الضرب الداخلي في الفضاء: إيجاد الضرب الداخلي لمتجهين في الفضاء يشبه إيجاده لمتجهين في المستوى، وكما هي الحال مع المتجهات في المستوى، يتعامد متجهان غير صفريين في الفضاء، إذا وفقط إذا كان حاصل ضربهما الداخلي صفرًا. --- SECTION: مفهوم أساسي: الضرب الداخلي والمتجهات المتعامدة في الفضاء --- يُعرّف الضرب الداخلي للمتجهين: a = ⟨a₁, a₂, a₃⟩ , b = ⟨b₁, b₂, b₃⟩ في الفضاء كالآتي: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ويكون المتجهان غير الصفريين a, b متعامدين، إذا وفقط إذا كان a · b = 0 --- SECTION: مثال 1 --- إيجاد الضرب الداخلي لتحديد المتجهات المتعامدة أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: a) u = ⟨-7, 3, -3⟩, v = ⟨5, 17, 5⟩ u · v = -7(5) + 3(17) + (-3)(5) = -35 + 51 + (-15) = 1 وبما أن u · v ≠ 0 ، فإن u, v غير متعامدين. b) u = ⟨3, -3, 3⟩, v = ⟨4, 7, 3⟩ u · v = 3(4) + (-3)(7) + 3(3) = 12 + (-21) + 9 = 0 وبما أن u · v = 0 ، فإن u, v متعامدان. --- SECTION: تحقق من فهمك 1 --- أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: 1A. u = ⟨3, -5, 4⟩, v = ⟨5, 7, 5⟩ 1B. u = ⟨4, -2, -3⟩, v = ⟨1, 3, -2⟩ وكما هو في المتجهات في المستوى، إذا كانت θ هي الزاوية بين متجهين غير صفريين a, b في الفضاء فإن cos θ = (a · b) / (|a| |b|) --- SECTION: مثال 2 --- الزاوية بين متجهين في الفضاء أوجد قياس الزاوية θ بين u, v ، إذا كان: u = ⟨3, 2, -1⟩, v = ⟨-4, 3, -2⟩ ، إلى أقرب جزء من عشرة. الحل: cos θ = (u · v) / (|u| |v|) cos θ = (⟨3, 2, -1⟩ · ⟨-4, 3, -2⟩) / (|⟨3, 2, -1⟩| |⟨-4, 3, -2⟩|) cos θ = -4 / (√14 √29) θ = cos⁻¹(-4 / √406) ≈ 101.5° أي أن قياس الزاوية بين u, v هو 101.5° تقريبًا. --- SECTION: تحقق من فهمك 2 --- 2) أوجد قياس الزاوية بين المتجهين: u = -4i + 2j + k, v = 4i + 3k ، إلى أقرب منزلة عشرية. --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link to ien.edu.sa **IMAGE**: Untitled Description: صورة توضيحية لأربع طائرات حربية تطير في تشكيل معين في السماء، تستخدم كمثال واقعي للمتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد. **GRAPH**: الزاوية بين متجهين Description: تمثيل بياني لمتجهين u و v في الفضاء الثلاثي الأبعاد مع توضيح الزاوية θ بينهما. X-axis: x Y-axis: y Context: يوضح الرسم كيفية تمثيل المتجهات في الفضاء الثلاثي الأبعاد والزاوية المنفرجة المتكونة بينهما بناءً على إحداثياتهما المعطاة في المثال 2.