صفحة 42 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تدرب وحل المسائل

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (مثال 1)

1) u = <3, -9, 6>, v = <-8, 2, 7>

2) u = <5, 0, -4>, v = <6, -1, 4>

3) u = <-7, -3, 1>, v = <-4, 5, -13>

4) u = <11, 4, -2>, v = <-1, 3, 8>

5) u = 6i - 2j - 5k, v = 3i - 2j + 6k

6) u = 9i - 9j + 6k, v = 6i + 4j - 3k

7) كيمياء: تقع إحدى ذرتي الهيدروجين في جزيء الماء عند (55.5, 55.5, -55.5)، والأخرى عند (-55.5, -55.5, -55.5)، وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة الأكسجين في نقطة الأصل. أوجد الزاوية بين المتجهين اللذين يكونان رابطة الأكسجين - الهيدروجين مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 2)

أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة: (مثال 2)

8) u = <6, -5, 1>, v = <-8, -9, 5>

9) u = <-8, 1, 12>, v = <-6, 4, 2>

10) u = <10, 0, -8>, v = <3, -1, -12>

11) u = -3i + 2j + 9k, v = 4i + 3j - 10k

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بين أن u × v عمودي على كل من u, v: (مثال 3)

12) u = <-1, 3, 5>, v = <2, -6, -3>

13) u = <4, 7, -2>, v = <-5, 9, 1>

14) u = <3, -6, 2>, v = <1, 5, -8>

15) u = -2i - 2j + 5k, v = 7i + j - 6k

أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: (مثال 4)

16) u = <-9, 1, 2>, v = <6, -5, 3>

17) u = <4, 3, -1>, v = <7, 2, -2>

18) u = 6i - 2j + 5k, v = 5i - 4j - 8k

19) u = i + 4j - 8k, v = -2i + 3j - 7k

أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كل مما يأتي: (مثال 5)

20) t = <-1, -9, 2>, u = <4, -7, -5>, v = <3, -2, 6>

21) t = <2, -3, -1>, u = <4, -6, 3>, v = <-9, 5, -4>

22) t = i + j - 4k, u = -3i + 2j + 7k, v = 2i - 6j + 8k

23) t = 5i - 2j + 6k, u = 3i - 5j + 7k, v = 8i - j + 4k

أوجد متجهًا غير صفري يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي:

24) <3, -8, 4>

25) <-1, -2, 5>

26) <6, -1/3, -3>

27) <7, 0, 8>

إذا علم كل من u · v, v، فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي:

28) v = <2, -4, -6>, u · v = -22

29) v = <1/2, 0, 4>, u · v = 31/2

30) v = <-2, -6, -5>, u · v = 35

حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم لا؟

31) (-1, 7, 7), (-3, 9, 11), (-5, 11, 13)

32) (11, 8, -1), (17, 5, -7), (8, 11, 5)

حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا:

33) m = <2, -10, 6>, n = <3, -15, 9>

34) a = <6, 3, -7>, b = <-4, -2, 3>

35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى yz، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها 60° فوق الاتجاه الموجب للمحور y.

حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدد ما إذا كان مستطيلاً أم لا:

36) A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3, 2, 4)

37) A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7, 7, 3)

42 الفصل 5 المتجهات

تدرب وحل المسائل أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (مثال 1) 1) u = <3, -9, 6>, v = <-8, 2, 7> 2) u = <5, 0, -4>, v = <6, -1, 4> 3) u = <-7, -3, 1>, v = <-4, 5, -13> 4) u = <11, 4, -2>, v = <-1, 3, 8> 5) u = 6i - 2j - 5k, v = 3i - 2j + 6k 6) u = 9i - 9j + 6k, v = 6i + 4j - 3k 7) كيمياء: تقع إحدى ذرتي الهيدروجين في جزيء الماء عند (55.5, 55.5, -55.5)، والأخرى عند (-55.5, -55.5, -55.5)، وذلك في الوقت الذي تقع فيه ذرة الأكسجين في نقطة الأصل. أوجد الزاوية بين المتجهين اللذين يكونان رابطة الأكسجين - الهيدروجين مقربة إلى أقرب جزء من عشرة. (مثال 2) أوجد قياس الزاوية θ بين المتجهين u, v في كل مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة: (مثال 2) 8) u = <6, -5, 1>, v = <-8, -9, 5> 9) u = <-8, 1, 12>, v = <-6, 4, 2> 10) u = <10, 0, -8>, v = <3, -1, -12> 11) u = -3i + 2j + 9k, v = 4i + 3j - 10k أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بين أن u × v عمودي على كل من u, v: (مثال 3) 12) u = <-1, 3, 5>, v = <2, -6, -3> 13) u = <4, 7, -2>, v = <-5, 9, 1> 14) u = <3, -6, 2>, v = <1, 5, -8> 15) u = -2i - 2j + 5k, v = 7i + j - 6k أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران في كل مما يأتي: (مثال 4) 16) u = <-9, 1, 2>, v = <6, -5, 3> 17) u = <4, 3, -1>, v = <7, 2, -2> 18) u = 6i - 2j + 5k, v = 5i - 4j - 8k 19) u = i + 4j - 8k, v = -2i + 3j - 7k أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه t, u, v أحرف متجاورة في كل مما يأتي: (مثال 5) 20) t = <-1, -9, 2>, u = <4, -7, -5>, v = <3, -2, 6> 21) t = <2, -3, -1>, u = <4, -6, 3>, v = <-9, 5, -4> 22) t = i + j - 4k, u = -3i + 2j + 7k, v = 2i - 6j + 8k 23) t = 5i - 2j + 6k, u = 3i - 5j + 7k, v = 8i - j + 4k أوجد متجهًا غير صفري يعامد المتجه المعطى في كل مما يأتي: 24) <3, -8, 4> 25) <-1, -2, 5> 26) <6, -1/3, -3> 27) <7, 0, 8> إذا علم كل من u · v, v، فأوجد حالة ممكنة للمتجه u في كل مما يأتي: 28) v = <2, -4, -6>, u · v = -22 29) v = <1/2, 0, 4>, u · v = 31/2 30) v = <-2, -6, -5>, u · v = 35 حدد ما إذا كانت النقاط المعطاة واقعة على استقامة واحدة أم لا؟ 31) (-1, 7, 7), (-3, 9, 11), (-5, 11, 13) 32) (11, 8, -1), (17, 5, -7), (8, 11, 5) حدد ما إذا كان كل متجهين مما يأتي متوازيين أم لا: 33) m = <2, -10, 6>, n = <3, -15, 9> 34) a = <6, 3, -7>, b = <-4, -2, 3> 35) اكتب الصورة الإحداثية للمتجه u الذي يقع في المستوى yz، وطوله 8، ويصنع زاوية قياسها 60° فوق الاتجاه الموجب للمحور y. حدد ما إذا كان الشكل الرباعي ABCD المعطاة إحداثيات رؤوسه متوازي أضلاع أم لا، وإذا كان كذلك، فأوجد مساحته، وحدد ما إذا كان مستطيلاً أم لا: 36) A(3, 0, -2), B(0, 4, -1), C(0, 2, 5), D(3, 2, 4) 37) A(7, 5, 5), B(4, 4, 4), C(4, 6, 2), D(7, 7, 3) 42 الفصل 5 المتجهات