إرشادات للدراسة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الضرب الاتجاهي هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء، وبخلاف الضرب الداخلي، فإن الضرب الاتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عددًا، ويُرمز له بالرمز a × b، ويُقرأ a cross b، ويكون المتجه a × b عموديًا على المستوى الذي يحوي المتجهين a, b.

يكون المستقيم عموديًا على مستوى، إذا كان عموديًا على كل مستقيم يقع في هذا المستوى ويتقاطع معه.

إذا كان: a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k، فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين a, b هو المتجه: a × b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

إذا طبقنا قاعدة حساب قيمة محددة من الدرجة الثالثة على المحددة أدناه، والتي تتضمن متجهات الوحدة i, j, k، وإحداثيات كل من a, b، فإننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه a × b. a × b = | i j k | ← بوضع متجهات الوحدة i, j, k في الصف 1 | a1 a2 a3 | ← بوضع إحداثيات a في الصف 2 | b1 b2 b3 | ← بوضع إحداثيات b في الصف 3 = | a2 a3 | i - | a1 a3 | j + | a1 a2 | k | b2 b3 | | b1 b3 | | b1 b2 | a × b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k

الضرب الاتجاهي: يطبق الضرب الاتجاهي على المتجهات في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد فقط، ولا يطبق على المتجهات في المستوى الإحداثي.

إيجاد الضرب الاتجاهي لمتجهين أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <3, -2, 1>, v = <-3, 3, 1>، ثم بيّن أن u × v يعامد كلاً من u, v. u = 3i - 2j + k, v = -3i + 3j + k u × v = | i j k | | 3 -2 1 | | -3 3 1 | = | -2 1 | i - | 3 1 | j + | 3 -2 | k (قاعدة إيجاد قيمة محددة الدرجة الثالثة) | 3 1 | | -3 1 | | -3 3 | = (-2 - 3)i - [3 - (-3)]j + (9 - 6)k (أوجد قيمة محددة الدرجة الثانية) = -5i - 6j + 3k (بسّط) = <-5, -6, 3> (الصورة الإحداثية) ولإثبات أن u × v يعامد كلاً من u, v جبريًا، أوجد الضرب الداخلي لـ u × v مع كل من u, v. (u × v) · u = <-5, -6, 3> · <3, -2, 1> = -5(3) + (-6)(-2) + 3(1) = -15 + 12 + 3 = 0 ✓ (u × v) · v = <-5, -6, 3> · <-3, 3, 1> = -5(-3) + (-6)(3) + 3(1) = 15 + (-18) + 3 = 0 ✓ بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرًا، فإن u × v عمودي على كل من u, v.

أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u × v يعامد كلاً من u, v :

40 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

الضرب الاتجاهي هو نوع آخر من الضرب بين المتجهات في الفضاء، وبخلاف الضرب الداخلي، فإن الضرب الاتجاهي لمتجهين a, b هو متجه وليس عددًا، ويُرمز له بالرمز a × b، ويُقرأ a cross b، ويكون المتجه a × b عموديًا على المستوى الذي يحوي المتجهين a, b. --- SECTION: إرشادات للدراسة --- يكون المستقيم عموديًا على مستوى، إذا كان عموديًا على كل مستقيم يقع في هذا المستوى ويتقاطع معه. --- SECTION: مفهوم أساسي: الضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء --- إذا كان: a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k، فإن الضرب الاتجاهي للمتجهين a, b هو المتجه: a × b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k إذا طبقنا قاعدة حساب قيمة محددة من الدرجة الثالثة على المحددة أدناه، والتي تتضمن متجهات الوحدة i, j, k، وإحداثيات كل من a, b، فإننا نتوصل إلى القاعدة نفسها للمتجه a × b. a × b = | i j k | ← بوضع متجهات الوحدة i, j, k في الصف 1 | a1 a2 a3 | ← بوضع إحداثيات a في الصف 2 | b1 b2 b3 | ← بوضع إحداثيات b في الصف 3 = | a2 a3 | i - | a1 a3 | j + | a1 a2 | k | b2 b3 | | b1 b3 | | b1 b2 | a × b = (a2b3 - a3b2)i - (a1b3 - a3b1)j + (a1b2 - a2b1)k --- SECTION: تنبيه! --- الضرب الاتجاهي: يطبق الضرب الاتجاهي على المتجهات في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد فقط، ولا يطبق على المتجهات في المستوى الإحداثي. --- SECTION: مثال 3 --- إيجاد الضرب الاتجاهي لمتجهين أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <3, -2, 1>, v = <-3, 3, 1>، ثم بيّن أن u × v يعامد كلاً من u, v. u = 3i - 2j + k, v = -3i + 3j + k u × v = | i j k | | 3 -2 1 | | -3 3 1 | = | -2 1 | i - | 3 1 | j + | 3 -2 | k (قاعدة إيجاد قيمة محددة الدرجة الثالثة) | 3 1 | | -3 1 | | -3 3 | = (-2 - 3)i - [3 - (-3)]j + (9 - 6)k (أوجد قيمة محددة الدرجة الثانية) = -5i - 6j + 3k (بسّط) = <-5, -6, 3> (الصورة الإحداثية) ولإثبات أن u × v يعامد كلاً من u, v جبريًا، أوجد الضرب الداخلي لـ u × v مع كل من u, v. (u × v) · u = <-5, -6, 3> · <3, -2, 1> = -5(3) + (-6)(-2) + 3(1) = -15 + 12 + 3 = 0 ✓ (u × v) · v = <-5, -6, 3> · <-3, 3, 1> = -5(-3) + (-6)(3) + 3(1) = 15 + (-18) + 3 = 0 ✓ بما أن حاصل الضرب الداخلي في الحالتين يساوي صفرًا، فإن u × v عمودي على كل من u, v. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد الضرب الاتجاهي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم بيّن أن u × v يعامد كلاً من u, v : 3A. u = <4, 2, -1>, v = <5, 1, 4> 3B. u = <-2, -1, -3>, v = <5, 1, 4> 40 الفصل 5 المتجهات وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A geometric representation of the cross product of two vectors. A blue parallelogram represents a plane containing vectors 'a' (horizontal) and 'b' (diagonal). A vertical arrow labeled 'a x b' originates from the intersection of 'a' and 'b', pointing upwards perpendicular to the plane. Context: Illustrates that the cross product of two vectors results in a third vector perpendicular to the plane containing the original two. **DIAGRAM**: Untitled Description: A geometry diagram showing a blue parallelogram representing a plane. A vertical blue line passes through the plane. A red right-angle symbol is placed at the intersection point, indicating the line is perpendicular to a line lying within the plane. Context: Visual aid for the definition of a line perpendicular to a plane. **GRAPH**: Untitled Description: A 3D plot illustrating Example 3. It shows three vectors: vector 'u' (red) pointing into the octant where x, y, and z are negative; vector 'v' (blue) pointing into the octant where x, y, and z are positive; and their cross product 'u x v' (green) pointing upwards and to the left, perpendicular to the plane formed by u and v. The origin is labeled 'O'. X-axis: x Y-axis: y Context: Visualizes the spatial relationship between two vectors and their cross product in a 3D coordinate system.