مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

للضرب الاتجاهي تطبيقات هندسية عديدة، فمثلاً مقدار المتجه |u × v| يُعبّر عن مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران كما في الشكل 5.5.1.

نوع: محتوى تعليمي

مساحة متوازي أضلاع في الفضاء
أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u = 2i + 4j - 3k, v = i - 5j + 3k ضلعان متجاوران.
الخطوة 1: أوجد u × v
u × v = | i j k | 
| 2 4 -3 | 
| 1 -5 3 |
= | 4 -3 | i - | 2 -3 | j + | 2 4 | k
| -5 3 | | 1 3 | | 1 -5 |
= -3i - 9j - 14k
الخطوة 2: أوجد طول u × v
|u × v| = √((-3)² + (-9)² + (-14)²)
= √286 ≈ 16.91
أي أن مساحة متوازي الأضلاع في الشكل 5.5.1، تساوي 16.91 وحدة مربعة تقريبًا.

4

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك
4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k ضلعان متجاوران.

نوع: محتوى تعليمي

الضرب القياسي الثلاثي: إذا التقت ثلاثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية، فإنها تكوّن أحرفًا متجاورة لمتوازي سطوح، وهو عبارة عن مجسم له ستة أوجه، كل وجه منها على شكل متوازي أضلاع كما في الشكل 5.5.2 أدناه، إن القيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي لهذه المتجهات يُمثّل حجم متوازي السطوح.

مفهوم أساسي

نوع: محتوى تعليمي

الضرب القياسي الثلاثي
إذا كان: t = t1i + t2j + t3k, u = u1i + u2j + u3k, v = v1i + v2j + v3k
فإن الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات t, u, v يُعرف كالآتي:
t · (u × v) = | t1 t2 t3 |
| u1 u2 u3 |
| v1 v2 v3 |

مثال 5

نوع: محتوى تعليمي

حجم متوازي السطوح
أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = 4i - 2j - 2k, u = 2i + 4j - 3k, v = i - 5j + 3k أحرف متجاورة.
t · (u × v) = | 4 -2 -2 |
| 2 4 -3 |
| 1 -5 3 |
= | 4 -3 | (4) - | 2 -3 | (-2) + | 2 4 | (-2)
| -5 3 | | 1 3 | | 1 -5 |
= -12 + 18 + 28 = 34
أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 5.5.2 هو |t · (u × v)|، ويساوي 34 وحدة مكعبة.

5

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك
5) أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = 2j - 5k, u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k أحرف متجاورة.

نوع: METADATA

الدرس 5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء 41
وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445

🔍 عناصر مرئية

A 3D coordinate system showing two vectors u (red) and v (blue) originating from the origin O. Vector u lies near the xy-plane, and vector v points upwards into the positive z region. Together they form two adjacent sides of a shaded blue parallelogram.

A 3D coordinate system showing three vectors u (red), v (blue), and t (green) originating from the origin O. These three vectors form the adjacent edges of a shaded blue parallelepiped (a 3D solid with parallelogram faces).

📄 النص الكامل للصفحة

للضرب الاتجاهي تطبيقات هندسية عديدة، فمثلاً مقدار المتجه |u × v| يُعبّر عن مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه u, v ضلعان متجاوران كما في الشكل 5.5.1.

--- SECTION: مثال 4 ---
مساحة متوازي أضلاع في الفضاء
أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u = 2i + 4j - 3k, v = i - 5j + 3k ضلعان متجاوران.
الخطوة 1: أوجد u × v
u × v = | i j k | 
| 2 4 -3 | 
| 1 -5 3 |
= | 4 -3 | i - | 2 -3 | j + | 2 4 | k
| -5 3 | | 1 3 | | 1 -5 |
= -3i - 9j - 14k
الخطوة 2: أوجد طول u × v
|u × v| = √((-3)² + (-9)² + (-14)²)
= √286 ≈ 16.91
أي أن مساحة متوازي الأضلاع في الشكل 5.5.1، تساوي 16.91 وحدة مربعة تقريبًا.

--- SECTION: 4 ---
تحقق من فهمك
4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k ضلعان متجاوران.

الضرب القياسي الثلاثي: إذا التقت ثلاثة متجهات في مستويات مختلفة في نقطة البداية، فإنها تكوّن أحرفًا متجاورة لمتوازي سطوح، وهو عبارة عن مجسم له ستة أوجه، كل وجه منها على شكل متوازي أضلاع كما في الشكل 5.5.2 أدناه، إن القيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي لهذه المتجهات يُمثّل حجم متوازي السطوح.

--- SECTION: مفهوم أساسي ---
الضرب القياسي الثلاثي
إذا كان: t = t1i + t2j + t3k, u = u1i + u2j + u3k, v = v1i + v2j + v3k
فإن الضرب القياسي الثلاثي للمتجهات t, u, v يُعرف كالآتي:
t · (u × v) = | t1 t2 t3 |
| u1 u2 u3 |
| v1 v2 v3 |

--- SECTION: مثال 5 ---
حجم متوازي السطوح
أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = 4i - 2j - 2k, u = 2i + 4j - 3k, v = i - 5j + 3k أحرف متجاورة.
t · (u × v) = | 4 -2 -2 |
| 2 4 -3 |
| 1 -5 3 |
= | 4 -3 | (4) - | 2 -3 | (-2) + | 2 4 | (-2)
| -5 3 | | 1 3 | | 1 -5 |
= -12 + 18 + 28 = 34
أي أن حجم متوازي السطوح في الشكل 5.5.2 هو |t · (u × v)|، ويساوي 34 وحدة مكعبة.

--- SECTION: 5 ---
تحقق من فهمك
5) أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = 2j - 5k, u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k أحرف متجاورة.

الدرس 5-5 الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء 41
وزارة التعليم Ministry of Education 2023 - 1445

--- VISUAL CONTEXT ---
**DIAGRAM**: Untitled
Description: A 3D coordinate system showing two vectors u (red) and v (blue) originating from the origin O. Vector u lies near the xy-plane, and vector v points upwards into the positive z region. Together they form two adjacent sides of a shaded blue parallelogram.
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Illustrates the geometric interpretation of the magnitude of the cross product as the area of a parallelogram.

**DIAGRAM**: Untitled
Description: A 3D coordinate system showing three vectors u (red), v (blue), and t (green) originating from the origin O. These three vectors form the adjacent edges of a shaded blue parallelepiped (a 3D solid with parallelogram faces).
X-axis: x
Y-axis: y
Context: Illustrates the geometric interpretation of the absolute value of the triple scalar product as the volume of a parallelepiped.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 4: تحقق من فهمك 4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع الذي فيه: u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k ضلعان متجاوران.

الإجابة: |u × v| = √545 ≈ 23.35 وحدة²

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا متجهان يمثلان ضلعين متجاورين في متوازي أضلاع: - المتجه الأول: $u = -6i - 2j + 3k$ - المتجه الثاني: $v = 4i + 3j + k$
**الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن مساحة متوازي الأضلاع الناتج عن متجهين تساوي طول (معيار) حاصل الضرب الاتجاهي لهما: $$Area = |u \times v|$$
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً: نوجد الضرب الاتجاهي $u \times v$ باستخدام المحددات: $$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -6 & -2 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= i(-2 - 9) - j(-6 - 12) + k(-18 + 8)$$ $$= -11i + 18j - 10k$$ ثانياً: نوجد طول هذا المتجه: $$|u \times v| = \sqrt{(-11)^2 + (18)^2 + (-10)^2}$$ $$= \sqrt{121 + 324 + 100} = \sqrt{545}$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بحساب الجذر التربيعي: إذن المساحة = $\sqrt{545} \approx 23.35$ **وحدة مربعة**

سؤال س5: تحقق من فهمك 5) أوجد حجم متوازي السطوح الذي فيه: t = 2j - 5k, u = -6i - 2j + 3k, v = 4i + 3j + k أحرف متجاورة.

الإجابة: س5: |t · (u × v)| = 86 وحدة³

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا ثلاثة متجهات تمثل أحرفاً متجاورة في متوازي سطوح: - $t = 0i + 2j - 5k$ - $u = -6i - 2j + 3k$ - $v = 4i + 3j + k$
**الخطوة 2 (القانون):** حجم متوازي السطوح يُحسب باستخدام القيمة المطلقة للضرب الثلاثي القياسي: $$Volume = |t \cdot (u \times v)|$$
**الخطوة 3 (الحل):** يمكننا حساب ذلك مباشرة باستخدام محدد المصفوفة من الدرجة الثالثة: $$\begin{vmatrix} 0 & 2 & -5 \\ -6 & -2 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= 0(-2 - 9) - 2(-6 - 12) + (-5)(-18 + 8)$$ $$= 0 - 2(-18) - 5(-10)$$ $$= 36 + 50 = 86$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** بما أن القيمة موجبة، فإن الحجم هو القيمة المطلقة للناتج: إذن الحجم = **86 وحدة مكعبة**