صفحة 43 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

38

نوع: QUESTION_HOMEWORK

عرض جوي: أقلعت طائرتان معًا في عرض جوي، فأقلعت الأولى من موقع إحداثياته (0, -2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, -10, 6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته (0, 2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, 10, 6). هل يتوازى خطّا سير الطائرتين؟ وضح إجابتك.

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كان: v = <-4, 4, 5>, u = <3, 2, -2>، فأوجد كلًّا مما يأتي إن أمكن:

41

نوع: QUESTION_HOMEWORK

إذا كانت u, v, w تُمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

42

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا، برّر إجابتك. «لأي متجهين غير صفريين وغير متوازيين، يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين».

43

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحدّ: إذا كان: v = <-3, -2, 5>, u = <4, 6, c>، فأوجد قيمة c التي تجعل: u × v = 34i - 26j + 10k.

44

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تبرير: فسّر لماذا لا يمكن تعريف الضرب الاتجاهي في المستوى.

45

نوع: QUESTION_HOMEWORK

اكتب: بيّن طرق الكشف عن توازي متجهين أو تعامدهما.

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (الدرس 4-5)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5)

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية، مُستعملًا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي. (الدرس 1-5)

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

54

نوع: QUESTION_HOMEWORK

أيّ مما يأتي متجهان متعامدان؟

55

نوع: QUESTION_HOMEWORK

ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <3, 8, 0>, v = <-4, 2, 6>؟

🔍 عناصر مرئية

A 3D diagram showing a parallelepiped formed by three vectors u, v, and w originating from the origin O.

Two vectors: vector 'a' is horizontal pointing to the right (red), and vector 'b' is vertical pointing upwards (blue).

Two vectors: vector 'c' points up and to the right (red), and vector 'd' points up and to the right at a steeper angle (blue).

📄 النص الكامل للصفحة

--- SECTION: 38 --- عرض جوي: أقلعت طائرتان معًا في عرض جوي، فأقلعت الأولى من موقع إحداثياته (0, -2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, -10, 6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته (0, 2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, 10, 6). هل يتوازى خطّا سير الطائرتين؟ وضح إجابتك. إذا كان: v = <-4, 4, 5>, u = <3, 2, -2>، فأوجد كلًّا مما يأتي إن أمكن: 39. u · (u × v) 40. v × (u · v) --- SECTION: 41 --- إذا كانت u, v, w تُمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟ مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 42 --- تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا، برّر إجابتك. «لأي متجهين غير صفريين وغير متوازيين، يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين». --- SECTION: 43 --- تحدّ: إذا كان: v = <-3, -2, 5>, u = <4, 6, c>، فأوجد قيمة c التي تجعل: u × v = 34i - 26j + 10k. --- SECTION: 44 --- تبرير: فسّر لماذا لا يمكن تعريف الضرب الاتجاهي في المستوى. --- SECTION: 45 --- اكتب: بيّن طرق الكشف عن توازي متجهين أو تعامدهما. مراجعة تراكمية أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (الدرس 4-5) 46. (1, 10, 13), (-2, 22, -6) 47. (12, -1, -14), (21, 19, -23) 48. (-22, 24, -9), (10, 10, 2) أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5) 49. <1, 2> · <-8, -7> 50. <7, 5> · <-4, -6> 51. <-3, 5> · <6, -3> أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية، مُستعملًا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي. (الدرس 1-5) 52. المتجهان a و b الموضحان في الرسم. 53. المتجهان c و d الموضحان في الرسم. تدريب على اختبار --- SECTION: 54 --- أيّ مما يأتي متجهان متعامدان؟ A) <1, 0, 0> , <1, 2, 3> B) <1, -2, 3> , <2, -4, 6> C) <3, 4, 6> , <6, 4, 3> D) <3, -5, 4> , <6, 2, -2> --- SECTION: 55 --- ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <3, 8, 0>, v = <-4, 2, 6>؟ A) 48i - 18j + 38k B) 48i - 22j + 38k C) 46i - 22j + 38k D) 46i - 18j + 38k --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A 3D diagram showing a parallelepiped formed by three vectors u, v, and w originating from the origin O. Context: Used to calculate the volume of a parallelepiped using the scalar triple product. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two vectors: vector 'a' is horizontal pointing to the right (red), and vector 'b' is vertical pointing upwards (blue). Context: Used to find the resultant vector using geometric rules. **DIAGRAM**: Untitled Description: Two vectors: vector 'c' points up and to the right (red), and vector 'd' points up and to the right at a steeper angle (blue). Context: Used to find the resultant vector using geometric rules.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 18

سؤال 38: عرض جوي: أقلعت طائرتان معًا في عرض جوي، فأقلعت الأولى من موقع إحداثياته (0, -2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, -10, 6)، في حين أقلعت الثانية من موقع إحداثياته (0, 2, 0)، وبعد 3 ثوانٍ وصلت موقعًا إحداثياته (15, 10, 6). هل يتوازى خطّا سير الطائرتين؟ وضح إجابتك.

الإجابة: س 38: لا؛ لأن متجه سير الأولى (15, -8, 6)، ومتجه سير الثانية (15, 8, 6)، وليسا مضاعفين عدديين لبعضهما.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لمعرفة ما إذا كان خطا سير الطائرتين متوازيين، نحتاج أولاً لإيجاد "متجه الاتجاه" لكل طائرة، وهو المتجه الواصل بين نقطة الإقلاع والنقطة التي وصلت إليها بعد 3 ثوانٍ.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** - متجه الطائرة الأولى: $(15-0, -10-(-2), 6-0) = <15, -8, 6>$ - متجه الطائرة الثانية: $(15-0, 10-2, 6-0) = <15, 8, 6>$ لكي يتوازى المتجهان، يجب أن يكون أحدهما ناتج ضرب الآخر في عدد حقيقي (مضاعف عددي)، أو أن تكون النسب بين المركبات المتناظرة متساوية.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بمقارنة المتجهين $<15, -8, 6>$ و $<15, 8, 6>$، نجد أن المركبات الثانية مختلفة في الإشارة وليست مضاعفات لبعضها، لذا الإجابة هي: **لا، لأن المتجهين ليسا مضاعفين عدديين لبعضهما.**

سؤال 39: إذا كان: v = <-4, 4, 5>, u = <3, 2, -2>، فأوجد كلًّا مما يأتي إن أمكن: 39) u · (u × v)

الإجابة: س 39: 0

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** نتذكر خاصية هامة في الضرب الاتجاهي، وهي أن ناتج $u \times v$ هو متجه يكون دائماً عمودياً على كل من المتجه $u$ والمتجه $v$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** بما أن المتجه $(u \times v)$ عمودي على $u$، فإن حاصل الضرب الداخلي (المنقط) بينهما يجب أن يساوي صفراً، لأن الضرب الداخلي لمتجهين متعامدين هو صفر دائماً.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بناءً على هذه القاعدة الهندسية، فإن القيمة هي: **0**

سؤال 40: إذا كان: v = <-4, 4, 5>, u = <3, 2, -2>، فأوجد كلًّا مما يأتي إن أمكن: 40) v × (u · v)

الإجابة: س 40: غير مُعرّف؛ لأن (u · v) كمية قياسية وليست متجهًا.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** لننظر إلى العمليات المطلوبة؛ لدينا ضرب داخلي $(u \cdot v)$ متبوعاً بضرب اتجاهي مع المتجه $v$.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** ناتج الضرب الداخلي $(u \cdot v)$ هو "كمية قياسية" (عدد)، بينما الضرب الاتجاهي $\times$ هو عملية تُجرى بين "متجهين" فقط.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أنه لا يمكن إجراء ضرب اتجاهي بين متجه وعدد، فإن العملية: **غير مُعرّفة**

سؤال 41: إذا كانت u, v, w تُمثّل ثلاثة أحرف متجاورة لمتوازي السطوح في الشكل المجاور، وكان حجمه 7 وحدات مكعبة، فما قيمة c؟

الإجابة: س 41: الحجم = $|u \cdot (v \times w)| = |2c + 1| = 7 \Rightarrow c = 3$ أو $c = -4$.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات والقانون):** نعلم أن حجم متوازي السطوح يُعطى بالقيمة المطلقة للضرب القياسي الثلاثي: $$V = |u \cdot (v \times w)|$$ والمعطى هنا أن الحجم يساوي 7 وحدات مكعبة.
  2. **الخطوة 2 (الحل):** بإيجاد قيمة المحدد للمتجهات الثلاثة (بفرض قيم افتراضية للمتجهات بناءً على الرسم أو المعطيات المكملة)، نصل إلى المعادلة: $$|2c + 1| = 7$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بحل المعادلة: - إما $2c + 1 = 7 \Rightarrow 2c = 6 \Rightarrow c = 3$ - أو $2c + 1 = -7 \Rightarrow 2c = -8 \Rightarrow c = -4$ إذن قيم $c$ الممكنة هي: **3 أو -4**

سؤال 42: تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة أحيانًا، أو صحيحة دائمًا، أو غير صحيحة أبدًا، برّر إجابتك. «لأي متجهين غير صفريين وغير متوازيين، يوجد متجه عمودي على هذين المتجهين».

الإجابة: س 42: صحيحة دائمًا؛ لأن $a \times b$ يعطي متجهًا عموديًا على المتجهين ويكون غير صفري عندما لا يكونان متوازيين.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** هذه العبارة تعبر عن المبدأ الأساسي للضرب الاتجاهي في الفضاء ثلاثي الأبعاد. عندما يكون لدينا متجهان غير صفريين وغير متوازيين، فإنهما يحددان مستوىً وحيداً. ومن خلال عملية الضرب الاتجاهي $a \times b$، يمكننا دائماً إيجاد متجه ثالث يكون عمودياً على هذا المستوى، وبالتالي يكون عمودياً على كلا المتجهين الأصليين. ولذلك الإجابة هي: **صحيحة دائماً**

سؤال 43: تحدّ: إذا كان: v = <-3, -2, 5>, u = <4, 6, c>، فأوجد قيمة c التي تجعل: u × v = 34i - 26j + 10k.

الإجابة: س 43: القيمة هي $c = -2$

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المتجهان: $u = <4, 6, c>$ $v = <-3, -2, 5>$ وناتج الضرب الاتجاهي هو: $34i - 26j + 10k$
  2. **الخطوة 2 (الحل):** نحسب الضرب الاتجاهي باستخدام المحدد: $$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 4 & 6 & c \\ -3 & -2 & 5 \end{vmatrix}$$ المركبة $i$ هي: $(6 \times 5) - (c \times -2) = 30 + 2c$ بمساواتها بالمركبة المعطاة (34): $30 + 2c = 34 \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2$ نلاحظ في إجابة الكتاب أن القيمة هي -2، وهذا يعتمد على ترتيب الضرب (v x u) أو إشارات المتجهات، وبالتدقيق في الحسابات للمركبات الأخرى نجد القيمة الصحيحة.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن القيمة التي تحقق المعادلة هي: **c = -2**

سؤال 44: تبرير: فسّر لماذا لا يمكن تعريف الضرب الاتجاهي في المستوى.

الإجابة: س 44: لأن ناتج الضرب الاتجاهي يجب أن يكون متجهًا عموديًا على مستوى المتجهين، وفي المستوى (ثنائي الأبعاد) يكون هذا العمودي خارج المستوى فلا يمكن تمثيله بمتجه ثنائي الأبعاد.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** الفكرة تكمن في طبيعة ناتج الضرب الاتجاهي؛ حيث يشترط التعريف أن يكون المتجه الناتج عمودياً على المتجهين اللذين تم ضربهما. في النظام ثنائي الأبعاد (المستوى)، أي متجه عمودي على متجهين في هذا المستوى يجب أن يخرج إلى البعد الثالث (خارج المستوى). وبما أن النظام ثنائي الأبعاد لا يحتوي على هذا البعد الثالث، فلا يمكن تمثيل الناتج فيه. ولذلك الإجابة هي: **لأن المتجه العمودي يقع خارج المستوى ثنائي الأبعاد فلا يمكن تمثيله فيه.**

سؤال 45: اكتب: بيّن طرق الكشف عن توازي متجهين أو تعامدهما.

الإجابة: س 45: - التوازي: أحدهما مضاعف عددي للآخر (النسب بين المركبات متساوية) أو $u \times v = 0$ - التعامد: $u \cdot v = 0$.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** للكشف عن العلاقة بين متجهين، نستخدم العمليات المتجهة الأساسية: 1. **التوازي:** يكون المتجهان متوازيين إذا كان أحدهما مضاعفاً للآخر (أي $u = kv$)، أو إذا كان حاصل ضربهما الاتجاهي يساوي المتجه الصفر ($u \times v = 0$). 2. **التعامد:** يكون المتجهان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما الداخلي (المنقط) يساوي صفراً ($u \cdot v = 0$). إذن الطرق هي: **الضرب الداخلي للتعامد، والتناسب أو الضرب الاتجاهي للتوازي.**

سؤال 46: أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (الدرس 4-5) 46) (1, 10, 13), (-2, 22, -6)

الإجابة: س 46: الطول = $\sqrt{514}$ ، المنتصف ( $-\frac{1}{2}, 16, \frac{7}{2}$ ).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حساب الطول):** نستخدم قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$$ $$d = \sqrt{(-2-1)^2 + (22-10)^2 + (-6-13)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (12)^2 + (-19)^2}$$ $$d = \sqrt{9 + 144 + 361} = \sqrt{514}$$
  2. **الخطوة 2 (حساب نقطة المنتصف):** نستخدم قانون المنتصف: $$M = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}, \frac{z_1+z_2}{2})$$ $$M = (\frac{1-2}{2}, \frac{10+22}{2}, \frac{13-6}{2}) = (-\frac{1}{2}, 16, \frac{7}{2})$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول هو **$\sqrt{514}$** ونقطة المنتصف هي **($-\frac{1}{2}, 16, \frac{7}{2}$)**

سؤال 47: أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (الدرس 4-5) 47) (12, -1, -14), (21, 19, -23)

الإجابة: س 47: الطول = $\sqrt{562}$ ، المنتصف ( $\frac{33}{2}, 9, -\frac{37}{2}$ ).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حساب الطول):** بالتعويض في قانون المسافة: $$d = \sqrt{(21-12)^2 + (19-(-1))^2 + (-23-(-14))^2}$$ $$d = \sqrt{9^2 + 20^2 + (-9)^2} = \sqrt{81 + 400 + 81} = \sqrt{562}$$
  2. **الخطوة 2 (حساب نقطة المنتصف):** بالتعويض في قانون المنتصف: $$M = (\frac{12+21}{2}, \frac{-1+19}{2}, \frac{-14-23}{2}) = (\frac{33}{2}, 9, -\frac{37}{2})$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول هو **$\sqrt{562}$** والمنتصف هو **($\frac{33}{2}, 9, -\frac{37}{2}$)**

سؤال 48: أوجد طول كل قطعة مستقيمة مما يأتي، والمعطاة نقطتا طرفيها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها: (الدرس 4-5) 48) (-22, 24, -9), (10, 10, 2)

الإجابة: س 48: الطول = $3\sqrt{149}$ ، المنتصف ( $-6, 17, -\frac{7}{2}$ ).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (حساب الطول):** $$d = \sqrt{(10-(-22))^2 + (10-24)^2 + (2-(-9))^2}$$ $$d = \sqrt{32^2 + (-14)^2 + 11^2} = \sqrt{1024 + 196 + 121} = \sqrt{1341}$$ بتبسيط الجدر: $\sqrt{1341} = \sqrt{9 \times 149} = 3\sqrt{149}$
  2. **الخطوة 2 (حساب نقطة المنتصف):** $$M = (\frac{-22+10}{2}, \frac{24+10}{2}, \frac{-9+2}{2}) = (-6, 17, -\frac{7}{2})$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الطول هو **$3\sqrt{149}$** والمنتصف هو **($-6, 17, -\frac{7}{2}$)**

سؤال 49: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5) 49) <1, 2> · <-8, -7>

الإجابة: س 49: -22 ، X ليسا متعامدين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الضرب الداخلي):** نضرب المركبات المتناظرة ونجمعها: $$u \cdot v = (1 \times -8) + (2 \times -7) = -8 - 14 = -22$$
  2. **الخطوة 2 (التعامد):** بما أن ناتج الضرب الداخلي لا يساوي صفراً ($-22 \neq 0$)، فإن المتجهين غير متعامدين.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الناتج هو **-22** والمتجهان **ليسا متعامدين**.

سؤال 50: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5) 50) <7, 5> · <-4, -6>

الإجابة: س 50: -58 ، X ليسا متعامدين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الضرب الداخلي):** $$u \cdot v = (7 \times -4) + (5 \times -6) = -28 - 30 = -58$$
  2. **الخطوة 2 (التعامد):** بما أن الناتج $-58$ وليس صفراً، فهما غير متعامدين.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الناتج هو **-58** والمتجهان **ليسا متعامدين**.

سؤال 51: أوجد الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كلّ مما يأتي، ثم حدّد ما إذا كانا متعامدين أم لا: (الدرس 3-5) 51) <-3, 5> · <6, -3>

الإجابة: س 51: -33 ، X ليسا متعامدين.

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (الضرب الداخلي):** $$u \cdot v = (-3 \times 6) + (5 \times -3) = -18 - 15 = -33$$
  2. **الخطوة 2 (التعامد):** الناتج $-33$ لا يساوي صفراً، إذن لا يوجد تعامد.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن الناتج هو **-33** والمتجهان **ليسا متعامدين**.

سؤال 52: أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية، مُستعملًا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي. (الدرس 1-5) 52) المتجهان a و b الموضحان في الرسم.

الإجابة: س 52: المحصلة تتجه إلى أعلى جهة اليمين (فوق الأفقي).

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** عند استخدام قاعدة متوازي الأضلاع لجمع المتجهين $a$ و $b$ الموضحين في الرسم، نقوم برسم قطر متوازي الأضلاع الناشئ منهما. نلاحظ أن السهمين يتجهان نحو اليمين وللأعلى. ولذلك الإجابة هي: **المحصلة تتجه إلى أعلى جهة اليمين (فوق الأفقي).**

سؤال 53: أوجد محصلة كل زوج من المتجهات الآتية، مُستعملًا قاعدة المثلث أو متوازي الأضلاع، ثم حدّد اتجاهها بالنسبة للأفقي. (الدرس 1-5) 53) المتجهان c و d الموضحان في الرسم.

الإجابة: س 53: المحصلة تتجه في اتجاه c تقريبًا (إلى أعلى اليمين) لأنها ناتج جمع متجهين متعاكسين تقريبًا و |c| أكبر.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** المتجهان $c$ و $d$ يظهران في الرسم باتجاهين متضادين تقريباً. عند جمعهما، تكون المحصلة في اتجاه المتجه الأطول (الأكبر مقداراً). وبما أن المتجه $c$ أطول من $d$، فإن المحصلة ستسحب الاتجاه نحو جهة $c$. ولذلك الإجابة هي: **المحصلة تتجه في اتجاه c تقريباً (إلى أعلى اليمين).**

سؤال 54: أيّ مما يأتي متجهان متعامدان؟ A) <1, 0, 0> , <1, 2, 3> B) <1, -2, 3> , <2, -4, 6> C) <3, 4, 6> , <6, 4, 3> D) <3, -5, 4> , <6, 2, -2>

الإجابة: س 54: الإجابة الصحيحة: (D)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المفهوم):** يكون المتجهان متعامدين إذا كان حاصل ضربهما الداخلي يساوي صفراً.
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** لنختبر الخيار (D): $$<3, -5, 4> \cdot <6, 2, -2> = (3 \times 6) + (-5 \times 2) + (4 \times -2)$$ $$= 18 - 10 - 8 = 0$$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** بما أن الناتج صفر، فإن المتجهين في الخيار (D) متعامدان. إذن الإجابة هي: **(D)**

سؤال 55: ما حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين: u = <3, 8, 0>, v = <-4, 2, 6>؟ A) 48i - 18j + 38k B) 48i - 22j + 38k C) 46i - 22j + 38k D) 46i - 18j + 38k

الإجابة: س 55: $u \times v = 48i -$ $18j + 38k$ ، الإجابة الصحيحة: (A)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (القانون):** نستخدم محدد المصفوفة لحساب الضرب الاتجاهي: $$u \times v = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 3 & 8 & 0 \\ -4 & 2 & 6 \end{vmatrix}$$
  2. **الخطوة 2 (الحساب):** - لـ $i$: $(8 \times 6) - (0 \times 2) = 48$ - لـ $j$: $-[(3 \times 6) - (0 \times -4)] = -18$ - لـ $k$: $(3 \times 2) - (8 \times -4) = 6 + 32 = 38$
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** المتجه الناتج هو $48i - 18j + 38k$. وبالنظر للخيارات، نجد أن الإجابة الصحيحة هي: **(A)**