صفحة 58 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

مسائل مهارات التفكير العليا

54

نوع: QUESTION_HOMEWORK

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهمًا، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون P2؟

55

نوع: QUESTION_HOMEWORK

55) تحدٍ: أوجد زوجًا مرتبًا من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-4, -3).

56

نوع: QUESTION_HOMEWORK

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين P1(r1, θ1), P2(r2, θ2) هي P1P2 = √r1² + r2² - 2r1r2 cos(θ2 - θ1). (إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

57

نوع: QUESTION_HOMEWORK

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون θ2 - θ1 = π/2. فسر هذا التغير.

58

نوع: QUESTION_HOMEWORK

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5, 45°) في المستوى القطبي كما هو مبين أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك.

59

نوع: QUESTION_HOMEWORK

59) اكتب: خمن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

نوع: محتوى تعليمي

مراجعة تراكمية

نوع: محتوى تعليمي

أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كان u, v متعامدين أولاً: (مهارة سابقة)

60

نوع: QUESTION_HOMEWORK

60) u = ⟨4, 10, 1⟩, v = ⟨-5, 1, 7⟩

61

نوع: QUESTION_HOMEWORK

61) u = ⟨-5, 4, 2⟩, v = ⟨-4, -9, 8⟩

62

نوع: QUESTION_HOMEWORK

62) u = ⟨-8, -3, 12⟩, v = ⟨4, -6, 0⟩

نوع: محتوى تعليمي

إذا كان a = ⟨-4, 3, -2⟩, b = ⟨2, 5, 1⟩, c = ⟨3, -6, 5⟩. فأوجد كلاً مما يأتي: (مهارة سابقة)

63

نوع: QUESTION_HOMEWORK

63) 3a + 2b + 8c

64

نوع: QUESTION_HOMEWORK

64) -2a + 4b - 5c

نوع: محتوى تعليمي

أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v لكل مما يأتي: (مهارة سابقة)

65

نوع: QUESTION_HOMEWORK

65) u = ⟨4, -3, 5⟩, v = ⟨2, 6, -8⟩

66

نوع: QUESTION_HOMEWORK

66) u = 2i - 4j + 7k, v = 5i + 6j - 11k

67

نوع: QUESTION_HOMEWORK

67) u = ⟨-1, 1, 5⟩, v = ⟨7, -6, 9⟩

نوع: محتوى تعليمي

أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدوائر الآتية: (مهارة سابقة)

68

نوع: QUESTION_HOMEWORK

68) x² + (y - 1)² = 9

69

نوع: QUESTION_HOMEWORK

69) (x + 1)² + y² = 16

70

نوع: QUESTION_HOMEWORK

70) x² + y² = 1

نوع: محتوى تعليمي

تدريب على اختبار

71

نوع: QUESTION_HOMEWORK

71) أي المتجهات الآتية يمثل RS، حيث إن نقطة البداية R(-5, 3)، ونقطة النهاية S(2, -7)؟

72

نوع: QUESTION_HOMEWORK

72) يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 ≤ r ≤ 20, -30° ≤ θ ≤ 210°، حيث r بالأقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة؟

🔍 عناصر مرئية

تمثيل سعيد للنقطة (5, 45°). يظهر المحور القطبي وشعاعاً بزاوية 45 درجة. تم وضع نقطة على الشعاع، ولكن تم تحديد المسافة 5 كطول عمودي من النقطة إلى المحور القطبي بدلاً من المسافة من القطب.

تمثيل علي للنقطة (5, 45°). يظهر المحور القطبي وشعاعاً بزاوية 45 درجة. تم تحديد المسافة 5 كطول الشعاع من القطب O إلى النقطة، وهو التمثيل الصحيح للإحداثيات القطبية.

رسم بياني قطبي يوضح قطاعاً دائرياً مظللاً. يبدأ القطاع من الزاوية -30° (أو 330°) وينتهي عند الزاوية 210°. نصف القطر r يصل إلى 20 وحدة.

📄 النص الكامل للصفحة

مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 54 --- 54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهمًا، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون P2؟ --- SECTION: 55 --- 55) تحدٍ: أوجد زوجًا مرتبًا من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-4, -3). --- SECTION: 56 --- 56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين P1(r1, θ1), P2(r2, θ2) هي P1P2 = √r1² + r2² - 2r1r2 cos(θ2 - θ1). (إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام). --- SECTION: 57 --- 57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون θ2 - θ1 = π/2. فسر هذا التغير. --- SECTION: 58 --- 58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5, 45°) في المستوى القطبي كما هو مبين أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك. --- SECTION: 59 --- 59) اكتب: خمن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق. مراجعة تراكمية أوجد حاصل الضرب الداخلي للمتجهين u, v في كل مما يأتي، ثم حدد ما إذا كان u, v متعامدين أولاً: (مهارة سابقة) --- SECTION: 60 --- 60) u = ⟨4, 10, 1⟩, v = ⟨-5, 1, 7⟩ --- SECTION: 61 --- 61) u = ⟨-5, 4, 2⟩, v = ⟨-4, -9, 8⟩ --- SECTION: 62 --- 62) u = ⟨-8, -3, 12⟩, v = ⟨4, -6, 0⟩ إذا كان a = ⟨-4, 3, -2⟩, b = ⟨2, 5, 1⟩, c = ⟨3, -6, 5⟩. فأوجد كلاً مما يأتي: (مهارة سابقة) --- SECTION: 63 --- 63) 3a + 2b + 8c --- SECTION: 64 --- 64) -2a + 4b - 5c أوجد الزاوية θ بين المتجهين u, v لكل مما يأتي: (مهارة سابقة) --- SECTION: 65 --- 65) u = ⟨4, -3, 5⟩, v = ⟨2, 6, -8⟩ --- SECTION: 66 --- 66) u = 2i - 4j + 7k, v = 5i + 6j - 11k --- SECTION: 67 --- 67) u = ⟨-1, 1, 5⟩, v = ⟨7, -6, 9⟩ أوجد إحداثيات مركز وطول نصف قطر كل من الدوائر الآتية: (مهارة سابقة) --- SECTION: 68 --- 68) x² + (y - 1)² = 9 --- SECTION: 69 --- 69) (x + 1)² + y² = 16 --- SECTION: 70 --- 70) x² + y² = 1 تدريب على اختبار --- SECTION: 71 --- 71) أي المتجهات الآتية يمثل RS، حيث إن نقطة البداية R(-5, 3)، ونقطة النهاية S(2, -7)؟ A) ⟨7, -10⟩ B) ⟨-3, 10⟩ C) ⟨-7, 10⟩ D) ⟨-3, -10⟩ --- SECTION: 72 --- 72) يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 ≤ r ≤ 20, -30° ≤ θ ≤ 210°، حيث r بالأقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة؟ A) 821 ft² B) 838 ft² C) 852 ft² D) 866 ft² --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: تمثيل سعيد للنقطة (5, 45°). يظهر المحور القطبي وشعاعاً بزاوية 45 درجة. تم وضع نقطة على الشعاع، ولكن تم تحديد المسافة 5 كطول عمودي من النقطة إلى المحور القطبي بدلاً من المسافة من القطب. X-axis: المحور القطبي Key Values: 45°, 5 **DIAGRAM**: Untitled Description: تمثيل علي للنقطة (5, 45°). يظهر المحور القطبي وشعاعاً بزاوية 45 درجة. تم تحديد المسافة 5 كطول الشعاع من القطب O إلى النقطة، وهو التمثيل الصحيح للإحداثيات القطبية. X-axis: المحور القطبي Key Values: 45°, 5 **GRAPH**: Untitled Description: رسم بياني قطبي يوضح قطاعاً دائرياً مظللاً. يبدأ القطاع من الزاوية -30° (أو 330°) وينتهي عند الزاوية 210°. نصف القطر r يصل إلى 20 وحدة. X-axis: 0° Y-axis: 90° Key Values: 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°, 180°, 210°, 330°, 10, 20 Context: يوضح المنطقة التي يغطيها رشاش الماء بناءً على المتباينات المعطاة في السؤال 72.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 18

سؤال 54: تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهمًا، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون P2؟

الإجابة: س:54: لأن المسافة بين نقطتين خاصية تبادلية؛ تبديل النقاط لا يغير قيمة التعبير (قانون جيوب التمام).

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا نقطتان في الإحداثيات القطبية P1(r1, θ1) وP2(r2, θ2) ونريد أن نفهم لماذا ترتيب النقاط لا يؤثر على قيمة المسافة بينهما.
  2. **الخطوة 2 (الفكرة):** الفكرة هي تمثيل المسافة بين النقطتين باستخدام قانون جيوب التمام على المثلث الذي رؤوسه O (الأصل) وP1 وP2. طول الضلعين الذين يخرجان من O هما r1 وr2 والزاوية المحصورة بينهما هي |θ2 − θ1|.
  3. **الخطوة 3 (التطبيق):** طبقنا قانون جيوب التمام لنحصل على مربع المسافة بين P1 وP2: $$P_1P_2^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1).$$ لاحظ أن \(\cos(\theta_2-\theta_1)=\cos(\theta_1-\theta_2)\)، لذا تبديل مؤشري الزوايا لا يغير القيمة.
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** لذلك تكون المسافة متماثلة عند تبديل النقاط، وإذن ترتيب النقاط غير مهم.

سؤال 55: تحدٍ: أوجد زوجًا مرتبًا من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (-4, -3).

الإجابة: س:55: (5, 233.13°)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** النقطة في النظام الديكارتي هي (-4, -3). نريد إيجاد إحداثياتها القطبية (r, θ).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم العلاقات: $$r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(y,x)$$ حيث atan2 يعطي الزاوية في الربع الصحيح.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب: $$r=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$ زاوية القاعدة \(\alpha=\arctan\left(\frac{|y|}{|x|}\right)=\arctan\left(\frac{3}{4}\right)\approx36.87^\circ.\) بما أن x وy سلبيان فالنقطة في الربع الثالث، إذن $$\theta=180^\circ+36.87^\circ\approx216.87^\circ.$$ يمكن أيضاً كتابتها كـ \(\theta\approx-143.13^\circ\).
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن إحدى الإحداثيات القطبية الممكنة للنقطة هي **(5, 216.87°)** (أو بدلالة الزاوية السالبة **(5, −143.13°)**).

سؤال 56: برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين P1(r1, θ1), P2(r2, θ2) هي P1P2 = √r1² + r2² - 2r1r2 cos(θ2 - θ1). (إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

الإجابة: س:56: (P1P2)^2 = r1^2 + r2^2 - 2r1r2 cos(θ2 - θ1)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نريد إثبات صيغة المسافة بين P1(r1, θ1) وP2(r2, θ2).
  2. **الخطوة 2 (الفكرة والقانون):** ننظر إلى المثلث المكون من النقاط O (الأصل)، P1، P2. أطوال الضلعين من O إلى P1 وP2 هما r1 وr2، والزاوية المحصورة بينهما تساوي |θ2−θ1|. نطبق قانون جيوب التمام على الضلع المقابل لهذه الزاوية (وهو المسافة بين P1 وP2): $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos(C).$$
  3. **الخطوة 3 (التطبيق):** بالتطبيق نحصل على: $$(P_1P_2)^2=r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1).$$ بأخذ الجذر التربيعي نحصل على: $$P_1P_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}.$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** وهذا هو المطلوب إثباته.

سؤال 57: تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون θ2 - θ1 = π/2. فسر هذا التغير.

الإجابة: س:57: لأن cos(90°)=0، P1P2 = √(r1^2 + r2^2)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة العامة للمسافة: $P_1P_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos(\theta_2-\theta_1)}$. نأخذ الحالة الخاصة \(\theta_2-\theta_1=\pi/2\).
  2. **الخطوة 2 (التطبيق):** نعلم أن \(\cos(\pi/2)=0\). بالتعويض في الصيغة نحصل على: $$P_1P_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cdot0}=\sqrt{r_1^2+r_2^2}.$$
  3. **الخطوة 3 (التفسير):** هذا يعبر عن أن الشعاعين المتجهين من الأصل إلى النقطتين متعامدان (زاويتهما 90°)، فالمسافة بين النقطتين تساوي الجذر التربيعي لمجموع مربعي طولي الشعاعين، كما في حالة الضلعين المتعامدين في مثلث قائم الزاوية.

سؤال 58: اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (5, 45°) في المستوى القطبي كما هو مبين أدناه. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برر إجابتك.

الإجابة: س:58: علي لأن 5 يمثل طول الشعاع من O إلى النقطة.

خطوات الحل:

  1. **الشرح:** الفكرة هنا أن الإحداثي القطبي يُعطى بصيغة (r, θ) حيث r هو طول الشعاع من الأصل إلى النقطة، وθ هي الزاوية التي يصنعها هذا الشعاع مع المحور الموجب x متجهًا بعكس عقارب الساعة. إذا كانت النقطة تمثل (5, 45°) فـ r=5 يعني أن المسافة من O إلى النقطة تساوي 5 وحدات، وθ=45° تعني أن هذه المسافة تمتد بزاوية 45° من المحور x. لذلك الرسم الصحيح هو الذي يضع النقطة على شعاع طوله 5 عند زاوية 45°، أي عند الإحداثيات الديكارتية \( (5\cos45^\circ,\;5\sin45^\circ)\approx(3.536,3.536)\). أي تمثيل آخر يضع النقطة على بعد مختلف عن 5 من الأصل أو عند زاوية غير 45° يكون غير صحيح. إذن الإجابة الصحيحة هي: **علي**، لأنه رَسَم النقطة على الشعاع الذي طوله 5 وبزاوية 45°.

سؤال 60: 60) u = ⟨4, 10, 1⟩, v = ⟨-5, 1, 7⟩

الإجابة: س:60: -3؛ غير متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=⟨4,10,1⟩ و v=⟨-5,1,7⟩. نريد حاصل الضرب النقطي وما إذا كانا متعامدين.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** الضرب النقطي: $u\cdot v= u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$. إذا كان الناتج = 0 فهما متعامدان.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** $$u\cdot v=4(-5)+10(1)+1(7)=-20+10+7=-3.$$
  4. **الالنتيجة:** إذن حاصل الضرب = **-3**، وبما أنه ليس صفرًا، فالمتجهان **غير متعامدان**.

سؤال 61: 61) u = ⟨-5, 4, 2⟩, v = ⟨-4, -9, 8⟩

الإجابة: س:61: 0؛ متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=⟨-5,4,2⟩ و v=⟨-4,-9,8⟩.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نحسب الضرب النقطي: $u\cdot v= u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** $$u\cdot v=(-5)(-4)+4(-9)+2(8)=20-36+16=0.$$
  4. **الالنتيجة:** إذن حاصل الضرب = **0**، وبالتالي المتجهان **متعامدان**.

سؤال 62: 62) u = ⟨-8, -3, 12⟩, v = ⟨4, -6, 0⟩

الإجابة: س:62: -14؛ غير متعامدان

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=⟨-8,-3,12⟩ و v=⟨4,-6,0⟩.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** الضرب النقطي: $u\cdot v= u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** $$u\cdot v=(-8)(4)+(-3)(-6)+12(0)=-32+18+0=-14.$$
  4. **الالنتيجة:** إذن حاصل الضرب = **-14**، وبما أنه ليس صفرًا، فالمتجهان **غير متعامدان**.

سؤال 63: 63) 3a + 2b + 8c

الإجابة: س:63: ⟨16, -29, 36⟩

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب: حساب التعبير 3a + 2b + 8c (نفترض أن مكونات a وb وc معطاة في نص السؤال الأصلي).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نجري الجمع والضرب على كل مركبة على حدة: إذا كان a=⟨a1,a2,a3⟩، b=⟨b1,b2,b3⟩، c=⟨c1,c2,c3⟩ فنحصل على $$3a+2b+8c=\langle 3a_1+2b_1+8c_1,\;3a_2+2b_2+8c_2,\;3a_3+2b_3+8c_3\rangle.$$
  3. **الخطوة 3 (التطبيق والنتيجة):** بتطبيق القيم المكونات المعطاة في المسألة نحصل على الناتج النهائي: إذن 3a + 2b + 8c = **⟨16, -29, 36⟩**.

سؤال 64: 64) -2a + 4b - 5c

الإجابة: س:64: ⟨1, 44, -17⟩

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب: حساب -2a + 4b - 5c (مكونات a وb وc مفروضة في نص المسألة الأصلي).
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق العمليات على كل مركبة: $$-2a+4b-5c=\langle -2a_1+4b_1-5c_1,\; -2a_2+4b_2-5c_2,\; -2a_3+4b_3-5c_3\rangle.$$
  3. **الخطوة 3 (التطبيق والنتيجة):** بالتعويض بمكونات المتجهات المعطاة نحصل على الناتج النهائي: إذن -2a + 4b - 5c = **⟨1, 44, -17⟩**.

سؤال 65: 65) u = ⟨4, -3, 5⟩, v = ⟨2, 6, -8⟩

الإجابة: س:65: θ ≈ 133.9°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=⟨4,-3,5⟩ و v=⟨2,6,-8⟩. نريد قياس الزاوية θ بينهما.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم معادلة الزاوية: $$\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|},$$ حيث $u\cdot v$ هو الضرب النقطي و\(\|u\|\) طول المتجه.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** نحسب الضرب النقطي: $$u\cdot v=4(2)+(-3)(6)+5(-8)=8-18-40=-50.$$\ الأطوال: $$\|u\|=\sqrt{4^2+(-3)^2+5^2}=\sqrt{50},\quad \|v\|=\sqrt{2^2+6^2+(-8)^2}=\sqrt{104}.$$\ إذن $$\cos\theta=\frac{-50}{\sqrt{50\cdot104}}\approx-0.6934,$$ ومنها \(\theta\approx133.9^\circ\).
  4. **النتيجة:** إذن الزاوية ≈ **133.9°**.

سؤال 66: 66) u = 2i - 4j + 7k, v = 5i + 6j - 11k

الإجابة: س:66: θ ≈ 144.3°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=2i−4j+7k و v=5i+6j−11k.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نستخدم نفس صيغة الزاوية: $$\cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}.$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الضرب النقطي: $$u\cdot v=2(5)+(-4)(6)+7(-11)=10-24-77=-91.$$\ الأطوال: $$\|u\|=\sqrt{2^2+(-4)^2+7^2}=\sqrt{69},\quad \|v\|=\sqrt{5^2+6^2+(-11)^2}=\sqrt{182}.$$\ إذن $$\cos\theta=\frac{-91}{\sqrt{69\cdot182}}\approx-0.8119,$$ ومنه \(\theta\approx144.3^\circ\).
  4. **النتيجة:** إذن الزاوية ≈ **144.3°**.

سؤال 67: 67) u = ⟨-1, 1, 5⟩, v = ⟨7, -6, 9⟩

الإجابة: س:67: θ ≈ 61.4°

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** u=⟨-1,1,5⟩ و v=⟨7,-6,9⟩.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** نطبق القانون نفسه للزاوية بين متجهين.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** الضرب النقطي: $$u\cdot v=(-1)(7)+1(-6)+5(9)=-7-6+45=32.$$\ الأطوال: $$\|u\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+5^2}=\sqrt{27},\quad \|v\|=\sqrt{7^2+(-6)^2+9^2}=\sqrt{166}.$$\ إذًا $$\cos\theta=\frac{32}{\sqrt{27\cdot166}}\approx0.4786,$$ ومنها \(\theta\approx61.4^\circ\).
  4. **النتيجة:** إذن الزاوية ≈ **61.4°**.

سؤال 68: 68) x² + (y - 1)² = 9

الإجابة: س:68: م (0,1)، نق 3

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $x^2+(y-1)^2=9$.
  2. **الخطوة 2 (التفسير):** المعادلة على صورة دائرة بمركز $(h,k)$ ومعادلة $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$، فهنا $h=0$, $k=1$, و$r^2=9$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركز هو **(0, 1)** ونصف القطر **3**.

سؤال 69: 69) (x + 1)² + y² = 16

الإجابة: س:69: م (-1,0)، نق 4

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $(x+1)^2+y^2=16$.
  2. **الخطوة 2 (التفسير):** نقابلها بالشكل $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$، فهنا $h=-1$, $k=0$, و$r^2=16$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركز **(-1, 0)** ونصف القطر **4**.

سؤال 70: 70) x² + y² = 1

الإجابة: س:70: م (0,0)، نق 1

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المعادلة: $x^2+y^2=1$.
  2. **الخطوة 2 (التفسير):** هذا شكل دائرة مركزها الأصل (0,0) وأنصاف المربعات تمثل $r^2=1$.
  3. **الخطوة 3 (النتيجة):** إذن المركز **(0,0)** ونصف القطر **1**.

سؤال 71: 71) أي المتجهات الآتية يمثل RS، حيث إن نقطة البداية R(-5, 3)، ونقطة النهاية S(2, -7)؟

الإجابة: س:71: (الاختيار A) ⟨7, -10⟩

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** نقطة البداية R(-5, 3) ونقطة النهاية S(2, -7). نريد متجه RS.
  2. **الخطوة 2 (القانون):** متجه من R إلى S يُحسب بطرح إحداثيات R من S: $$\overrightarrow{RS}=S-R=(x_S-x_R,\;y_S-y_R).$$
  3. **الخطوة 3 (الحل والنتيجة):** $$\overrightarrow{RS}= (2-(-5),\;-7-3)=(7, -10).$$ إذن المتجه هو **⟨7, -10⟩** (الاختيار A).

سؤال 72: 72) يستطيع رشاش ماء رش منطقة على شكل قطاع دائري يمكن تحديدها بالمتباينتين 0 ≤ r ≤ 20, -30° ≤ θ ≤ 210°، حيث r بالأقدام. ما المساحة التقريبية لهذه المنطقة؟

الإجابة: س:72: المساحة ≈ 838 ft^2 (الاختيار B)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** المنطقة محددة في الإحداثيات القطبية بالمتباينتين $0\le r\le20$ و $-30^\circ\le\theta\le210^\circ$. نريد المساحة.
  2. **الخطوة 2 (الصيغة):** مساحة قطاع قطبي عندما يكون r ثابتًا تساوي $$A=\tfrac12 r^2(\theta_2-\theta_1),$$ حيث الزوايا بالراديان.
  3. **الخطوة 3 (الحل):** فرق الزوايا = $210^\circ-(-30^\circ)=240^\circ$ أي $\frac{4}{3}\pi$ راديان. بالتعويض: $$A=\tfrac12(20)^2\cdot\frac{4}{3}\pi=200\cdot\frac{4}{3}\pi=\frac{800}{3}\pi\approx837.76\text{ ft}^2.$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** تقريبًا المساحة = **838 ft^2** (الاختيار B).