تحقق من فهمك - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

Q(-2, 135°) (b بما أن إحداثيات النقطة (r, θ) = (-2, 135°)، فإن r = -2, θ = 135°. x = r cos θ = -2 cos 135° = -2(-√2/2) = √2 y = r sin θ = -2 sin 135° = -2(√2/2) = -√2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي (√2, -√2) أو (1.41, -1.41) تقريبًا كما في الشكل أعلاه.

V(3, -120°) (c بما أن إحداثيات النقطة (r, θ) = (3, -120°)، فإن r = 3, θ = -120°. x = r cos θ = 3 (cos -120°) = 3(-1/2) = -3/2 y = r sin θ = 3 sin (-120°) = 3(-√3/2) = -3√3/2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة V هي (-3/2, -3√3/2) أو (-1.5, -2.6) تقريبًا كما في الشكل أعلاه.

تحقق من فهمك حوّل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية، لكل نقطة مما يأتي:

إرشادات للدراسة تحويل الإحداثيات إن العملية المتبعة لتحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية هي ذاتها العملية المتبعة في إيجاد طول المتجه واتجاهه.

ولكتابة زوج الإحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية، فإنك بحاجة إلى إيجاد المسافة المتجهة r من النقطة (x, y) إلى نقطة الأصل أو القطب، وقياس الزاوية المتجهة θ التي يصنعها r مع الجزء الموجب من المحور x أو المحور القطبي. استعمل نظرية فيثاغورس؛ لإيجاد المسافة r من النقطة (x, y) إلى نقطة الأصل.

نظرية فيثاغورس: r² = x² + y² خذ الجذر التربيعي الموجب للطرفين: r = √x² + y² ترتبط الزاوية θ بكل من x, y من خلال دالة الظل، ولإيجاد الزاوية θ: تعريف الظل: tan θ = y/x دالة معكوس الظل: θ = Tan⁻¹(y/x)

تذكر أن الدالة العكسية للظل معرفة فقط على الفترة (-π/2, π/2) أو (-90°, 90°) في نظام الإحداثيات الديكارتية. وتُعطى قيم θ الواقعة في الربع الأول أو الرابع، أي عندما تكون x > 0، كما في الشكل 6.2.1. وإذا كانت x < 0، فإن الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث، لذا عليك إضافة π أو 180° (طول الدورة للدالة y = tan x) إلى قياس الزاوية المعطاة بالدالة العكسية للظل كما في الشكل 6.2.2.

عندما x > 0: θ = Tan⁻¹(y/x) عندما x < 0: θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° أو θ = Tan⁻¹(y/x) + π

--- SECTION: b --- Q(-2, 135°) (b بما أن إحداثيات النقطة (r, θ) = (-2, 135°)، فإن r = -2, θ = 135°. x = r cos θ = -2 cos 135° = -2(-√2/2) = √2 y = r sin θ = -2 sin 135° = -2(√2/2) = -√2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة Q هي (√2, -√2) أو (1.41, -1.41) تقريبًا كما في الشكل أعلاه. --- SECTION: c --- V(3, -120°) (c بما أن إحداثيات النقطة (r, θ) = (3, -120°)، فإن r = 3, θ = -120°. x = r cos θ = 3 (cos -120°) = 3(-1/2) = -3/2 y = r sin θ = 3 sin (-120°) = 3(-√3/2) = -3√3/2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة V هي (-3/2, -3√3/2) أو (-1.5, -2.6) تقريبًا كما في الشكل أعلاه. --- SECTION: تحقق من فهمك --- تحقق من فهمك حوّل الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية، لكل نقطة مما يأتي: 1A. R(-6, -120°) 1B. S(5, π/3) 1C. T(-3, 45°) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- إرشادات للدراسة تحويل الإحداثيات إن العملية المتبعة لتحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية هي ذاتها العملية المتبعة في إيجاد طول المتجه واتجاهه. ولكتابة زوج الإحداثيات الديكارتية بالصيغة القطبية، فإنك بحاجة إلى إيجاد المسافة المتجهة r من النقطة (x, y) إلى نقطة الأصل أو القطب، وقياس الزاوية المتجهة θ التي يصنعها r مع الجزء الموجب من المحور x أو المحور القطبي. استعمل نظرية فيثاغورس؛ لإيجاد المسافة r من النقطة (x, y) إلى نقطة الأصل. نظرية فيثاغورس: r² = x² + y² خذ الجذر التربيعي الموجب للطرفين: r = √x² + y² ترتبط الزاوية θ بكل من x, y من خلال دالة الظل، ولإيجاد الزاوية θ: تعريف الظل: tan θ = y/x دالة معكوس الظل: θ = Tan⁻¹(y/x) تذكر أن الدالة العكسية للظل معرفة فقط على الفترة (-π/2, π/2) أو (-90°, 90°) في نظام الإحداثيات الديكارتية. وتُعطى قيم θ الواقعة في الربع الأول أو الرابع، أي عندما تكون x > 0، كما في الشكل 6.2.1. وإذا كانت x < 0، فإن الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث، لذا عليك إضافة π أو 180° (طول الدورة للدالة y = tan x) إلى قياس الزاوية المعطاة بالدالة العكسية للظل كما في الشكل 6.2.2. عندما x > 0: θ = Tan⁻¹(y/x) عندما x < 0: θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° أو θ = Tan⁻¹(y/x) + π --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the plotting of point Q with a negative radius. A dashed ray is drawn at 135 degrees in the second quadrant. Point Q is plotted in the opposite direction (315 degrees) at a distance of 2 units from the origin. **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing the plotting of point V with a negative angle. A ray is drawn at -120 degrees (clockwise from the positive x-axis). Point V is plotted on this ray at a distance of 3 units from the origin. **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram illustrating the relationship between Cartesian (x, y) and polar (r, theta) coordinates. It shows a point P(x, y) on a circle of radius r. A right triangle is formed with the x-axis, having base x, height y, and hypotenuse r. The angle theta is shown from the positive x-axis. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing a point P(x, y) in the first quadrant where x > 0. The angle theta is the angle between the positive x-axis and the ray OP. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing a point P(x, y) in the third quadrant where x < 0. It illustrates that the angle theta is calculated by adding 180 degrees (or pi) to the principal value of the inverse tangent. X-axis: x Y-axis: y