مفهوم أساسي - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية إذا كان للنقطة P الإحداثيات الديكارتية (x, y)، فإن الإحداثيات القطبية للنقطة P هي (r, θ)، حيث: r = √(x² + y²) θ = Tan⁻¹(y/x)، عندما x > 0 وعندما x < 0 فإن: θ = Tan⁻¹(y/x) + π أو θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° وعندما x = 0 فإن: θ = π/2، r = y إذا كانت y > 0 أو θ = -π/2، r = y إذا كانت y < 0 تذكّر أن هناك عددًا لانهائيًا من أزواج الإحداثيات القطبية للنقطة، والتحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية يعطي أحدها.

تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي:

حل مثال 2 (a): بما أن إحداثيات النقطة S هي (x, y) = (1, -√3)، فإن x = 1, y = -√3. r = √(x² + y²) = √(1² + (-√3)²) = √4 = 2 ولأن x > 0، لذا استعمل الصيغة θ = Tan⁻¹(y/x) لإيجاد الزاوية θ. θ = Tan⁻¹(-√3 / 1) = -π/3 أي أن (2, -π/3) زوج من الإحداثيات القطبية للنقطة S. ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة لـ θ، وذلك بإضافة 2π. فيكون (2, -π/3 + 2π) أو (2, 5π/3)، كما في الشكل المجاور.

حل مثال 2 (b): بما أن إحداثيات النقطة T هي (x, y) = (-3, 6)، فإن x = -3, y = 6. r = √(x² + y²) = √((-3)² + 6²) = √45 ≈ 6.71 ولأن x < 0، لذا استعمل الصيغة θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° لإيجاد الزاوية θ. θ = Tan⁻¹(6 / -3) + 180° = Tan⁻¹(-2) + 180° ≈ 117° أي أن (6.71, 117°) تقريبًا هو زوج من الإحداثيات القطبية للنقطة T، ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة سالبة لـ r، فنحصل على (-6.71, 117° + 180°) أو (-6.71, 297°)، كما في الشكل المجاور.

أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي:

الدرس 2-6 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات 61

--- SECTION: مفهوم أساسي --- تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية إذا كان للنقطة P الإحداثيات الديكارتية (x, y)، فإن الإحداثيات القطبية للنقطة P هي (r, θ)، حيث: r = √(x² + y²) θ = Tan⁻¹(y/x)، عندما x > 0 وعندما x < 0 فإن: θ = Tan⁻¹(y/x) + π أو θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° وعندما x = 0 فإن: θ = π/2، r = y إذا كانت y > 0 أو θ = -π/2، r = y إذا كانت y < 0 تذكّر أن هناك عددًا لانهائيًا من أزواج الإحداثيات القطبية للنقطة، والتحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية يعطي أحدها. --- SECTION: مثال 2 --- تحويل الإحداثيات الديكارتية إلى الإحداثيات القطبية أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي: a. S(1, -√3) b. T(-3, 6) حل مثال 2 (a): بما أن إحداثيات النقطة S هي (x, y) = (1, -√3)، فإن x = 1, y = -√3. r = √(x² + y²) = √(1² + (-√3)²) = √4 = 2 ولأن x > 0، لذا استعمل الصيغة θ = Tan⁻¹(y/x) لإيجاد الزاوية θ. θ = Tan⁻¹(-√3 / 1) = -π/3 أي أن (2, -π/3) زوج من الإحداثيات القطبية للنقطة S. ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة موجبة لـ θ، وذلك بإضافة 2π. فيكون (2, -π/3 + 2π) أو (2, 5π/3)، كما في الشكل المجاور. حل مثال 2 (b): بما أن إحداثيات النقطة T هي (x, y) = (-3, 6)، فإن x = -3, y = 6. r = √(x² + y²) = √((-3)² + 6²) = √45 ≈ 6.71 ولأن x < 0، لذا استعمل الصيغة θ = Tan⁻¹(y/x) + 180° لإيجاد الزاوية θ. θ = Tan⁻¹(6 / -3) + 180° = Tan⁻¹(-2) + 180° ≈ 117° أي أن (6.71, 117°) تقريبًا هو زوج من الإحداثيات القطبية للنقطة T، ويمكن إيجاد زوج آخر باستعمال قيمة سالبة لـ r، فنحصل على (-6.71, 117° + 180°) أو (-6.71, 297°)، كما في الشكل المجاور. --- SECTION: تحقق من فهمك --- أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كل مما يأتي: 2A. V(8, 10) 2B. W(-9, -4) الدرس 2-6 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات 61 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing the relationship between Cartesian (x, y) and polar (r, θ) coordinates. A point P is plotted in the first quadrant. A line segment of length r connects the origin O to P. The angle θ is measured from the positive x-axis (polar axis) to the segment r. A vertical line from P to the x-axis forms a right triangle with base x and height y. X-axis: x / المحور القطبي Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing point S with Cartesian coordinates (1, -√3). The point is located in the fourth quadrant. A dashed line segment of length r=2 connects the origin O to S. The angle -π/3 is shown clockwise from the positive x-axis. The angle 5π/3 is shown counter-clockwise. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing point T with Cartesian coordinates (-3, 6). The point is located in the second quadrant. A dashed line segment of length approximately 6.71 connects the origin O to T. The angle 117° is shown from the positive x-axis. A dashed line extends through the origin into the fourth quadrant to show the angle 297°. X-axis: x Y-axis: y