فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

6-2

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات Polar and Rectangular Forms of Equations

درست تمثيل النقاط وبعض المعادلات القطبية. (الدرس 1-6)

• أحول بين الإحداثيات القطبية والديكارتية. • أحول المعادلات من الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية وبالعكس.

يبعث مجس مثبت إلى رجل آلي أمواجاً فوق صوتية على شكل دوائر كاملة، وعندما تصطدم الأمواج بجسم، فإن المجس يستقبل إشارة، ويقوم بحساب بعد الجسم عن مقدمة الرجل الآلي بدلالة المسافة المتجهة r، والزاوية المتجهة θ. ويوصل المجس هذه الإحداثيات القطبية إلى الرجل الآلي الذي يحولها إلى الإحداثيات الديكارتية؛ ليتمكن من تعيينها على خريطة داخلية.

الإحداثيات القطبية والديكارتية

يمكن كتابة إحداثيات النقطة P(x, y) الواقعة على دائرة الوحدة، والمقابلة لزاوية θ على الصورة P(cos θ, sin θ)؛ لأن sin θ = y/r = y/1 = y , cos θ = x/r = x/1 = x فإذا كان طول نصف قطر دائرة عدداً حقيقياً r بدلاً من 1، فإنه يمكننا كتابة النقطة P(x, y) بدلالة r, θ على النحو الآتي: sin θ = y/r , cos θ = x/r y = r sin θ , x = r cos θ

تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية إذا كان للنقطة P الإحداثيات القطبية (r, θ)، فإن الإحداثيات الديكارتية (x, y) للنقطة P هي: x = r cos θ , y = r sin θ أي أن P(x, y) = (r cos θ, r sin θ).

تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية حول الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية، لكل نقطة مما يأتي:

الحل: بما أن إحداثيات النقطة (4, π/6) = (r, θ)، فإن r = 4, θ = π/6. x = r cos θ x = 4 cos(π/6) x = 4(√3/2) = 2√3 y = r sin θ y = 4 sin(π/6) y = 4(1/2) = 2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة P هي (2√3, 2) أو (3.46, 2) تقريباً كما في الشكل أعلاه.

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 6-2 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات Polar and Rectangular Forms of Equations --- SECTION: فيما سبق --- درست تمثيل النقاط وبعض المعادلات القطبية. (الدرس 1-6) --- SECTION: والآن --- • أحول بين الإحداثيات القطبية والديكارتية. • أحول المعادلات من الصورة القطبية إلى الصورة الديكارتية وبالعكس. --- SECTION: لماذا؟ --- يبعث مجس مثبت إلى رجل آلي أمواجاً فوق صوتية على شكل دوائر كاملة، وعندما تصطدم الأمواج بجسم، فإن المجس يستقبل إشارة، ويقوم بحساب بعد الجسم عن مقدمة الرجل الآلي بدلالة المسافة المتجهة r، والزاوية المتجهة θ. ويوصل المجس هذه الإحداثيات القطبية إلى الرجل الآلي الذي يحولها إلى الإحداثيات الديكارتية؛ ليتمكن من تعيينها على خريطة داخلية. الإحداثيات القطبية والديكارتية يمكن كتابة إحداثيات النقطة P(x, y) الواقعة على دائرة الوحدة، والمقابلة لزاوية θ على الصورة P(cos θ, sin θ)؛ لأن sin θ = y/r = y/1 = y , cos θ = x/r = x/1 = x فإذا كان طول نصف قطر دائرة عدداً حقيقياً r بدلاً من 1، فإنه يمكننا كتابة النقطة P(x, y) بدلالة r, θ على النحو الآتي: sin θ = y/r , cos θ = x/r y = r sin θ , x = r cos θ --- SECTION: مفهوم أساسي --- تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية إذا كان للنقطة P الإحداثيات القطبية (r, θ)، فإن الإحداثيات الديكارتية (x, y) للنقطة P هي: x = r cos θ , y = r sin θ أي أن P(x, y) = (r cos θ, r sin θ). --- SECTION: مثال 1 --- تحويل الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية حول الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية، لكل نقطة مما يأتي: a. P(4, π/6) الحل: بما أن إحداثيات النقطة (4, π/6) = (r, θ)، فإن r = 4, θ = π/6. x = r cos θ x = 4 cos(π/6) x = 4(√3/2) = 2√3 y = r sin θ y = 4 sin(π/6) y = 4(1/2) = 2 أي أن الإحداثيات الديكارتية للنقطة P هي (2√3, 2) أو (3.46, 2) تقريباً كما في الشكل أعلاه. --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: A small white humanoid robot with blue lights on its chest and head, illustrating the 'Why?' section about sensors and coordinates. **DIAGRAM**: Untitled Description: A unit circle centered at the origin O. A radius r=1 is drawn to a point P(x, y) in the first quadrant. The angle θ is shown between the positive x-axis and the radius. The point is also labeled P(cos θ, sin θ). X-axis: x Y-axis: y **DIAGRAM**: Untitled Description: A right-angled triangle in the first quadrant of a coordinate system. The hypotenuse is labeled r, the horizontal leg is x, and the vertical leg is y. The angle at the origin is θ. The vertex is labeled P(x, y) and P(r, θ). The x-axis is labeled 'المحور القطبي'. X-axis: x Y-axis: y **GRAPH**: Untitled Description: A ray starting from the origin O in the first quadrant. The ray has a length of 4 units. The angle between the ray and the positive x-axis is labeled π/6. The point at the end of the ray is labeled P. The y-axis has a label π/2 at the top. X-axis: x Y-axis: y