مثال 3 من واقع الحياة - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

الدرس: مثال 3 من واقع الحياة

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

في بعض ظواهر الحياة الطبيعية، قد يكون من المفيد أن تحوّل بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية.

مثال 3 من واقع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

التحويل بين الإحداثيات رجل آلي: بالرجوع إلى فقرة «لماذا؟»، افترض أن الرّجل الآلي متجه إلى الشرق، وأن المجسّ قد رَصَدَ جسمًا عند النقطة (5, 295°). a) ما الإحداثيات الديكارتية التي يحتاج الرجل الآلي إلى حسابها؟ الحل: x = r cos θ = 5 cos 295° ≈ 2.11 y = r sin θ = 5 sin 295° ≈ -4.53 أي أن الإحداثيات الديكارتية لموقع الجسم هي (2.11, -4.53) تقريبًا. b) إذا كان موقع جسم رُصد سابقًا عند النقطة التي إحداثياتها (3, 7)، فما المسافة وقياس الزاوية بين الجسم والرجل الآلي؟ الحل: r = √(x² + y²) = √(3² + 7²) = √58 ≈ 7.62 θ = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(7/3) ≈ 66.8° الإحداثيات القطبية لموقع الجسم هي (7.62, 66.8°) تقريبًا؛ أي أن المسافة بين الجسم والرجل الآلي 7.62، وقياس الزاوية بينهما 66.8°.

الربط مع الحياة

نوع: محتوى تعليمي

صممت وكالة ناسا رجلًا آليًا وزنه 3400 باوند، وطوله 12 ft، وطول ذراعه 11 ft؛ لأداء بعض المهام في الفضاء الخارجي.

نوع: محتوى تعليمي

تحقق من فهمك

3

نوع: QUESTION_HOMEWORK

3) صيد الأسماك: يُستعمل جهاز رصد؛ لتحديد موقع وجود الأسماك تحت الماء. افترض أن قاربًا يتجه إلى الشرق، وأن جهاز الرصد قد رصد سربًا من الأسماك عند النقطة (125, 6°).

المعادلات القطبية والديكارتية

نوع: محتوى تعليمي

قد تحتاج في دراستك المستقبلية إلى تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس؛ وذلك لتسهيل بعض الحسابات. فبعض المعادلات الديكارتية المعقدة صورتها القطبية أسهل كثيرًا. لاحظ معادلة الدائرة على الصورة الديكارتية والقطبية كما في الشكل أدناه.

نوع: محتوى تعليمي

المعادلة على الصورة الديكارتية: x² + y² = 9 المعادلة على الصورة القطبية: r = 3

نوع: محتوى تعليمي

وبشكل مماثل فإن بعض المعادلات القطبية المعقدة صورتها الديكارتية أسهل كثيرًا، فالمعادلة القطبية r = 6 / (2 cos θ - 3 sin θ) صورتها الديكارتية هي 2x - 3y = 6

نوع: METADATA

62 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

🔍 عناصر مرئية

صورة فوتوغرافية لرجل آلي سداسي الأرجل يتحرك على سطح صخري يشبه سطح المريخ.

تمثيل بياني للدائرة x² + y² = 9 أو r = 3

دائرة زرقاء اللون مرسومة على شبكة إحداثيات. نصف قطر الدائرة هو 3 وحدات. تظهر تسميات الزوايا القطبية عند محاور الإحداثيات: 0 عند الجزء الموجب لمحور x، π/2 عند الجزء الموجب لمحور y، π عند الجزء السالب لمحور x، و 3π/2 عند الجزء السالب لمحور y.

📄 النص الكامل للصفحة

في بعض ظواهر الحياة الطبيعية، قد يكون من المفيد أن تحوّل بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية. --- SECTION: مثال 3 من واقع الحياة --- التحويل بين الإحداثيات رجل آلي: بالرجوع إلى فقرة «لماذا؟»، افترض أن الرّجل الآلي متجه إلى الشرق، وأن المجسّ قد رَصَدَ جسمًا عند النقطة (5, 295°). a) ما الإحداثيات الديكارتية التي يحتاج الرجل الآلي إلى حسابها؟ الحل: x = r cos θ = 5 cos 295° ≈ 2.11 y = r sin θ = 5 sin 295° ≈ -4.53 أي أن الإحداثيات الديكارتية لموقع الجسم هي (2.11, -4.53) تقريبًا. b) إذا كان موقع جسم رُصد سابقًا عند النقطة التي إحداثياتها (3, 7)، فما المسافة وقياس الزاوية بين الجسم والرجل الآلي؟ الحل: r = √(x² + y²) = √(3² + 7²) = √58 ≈ 7.62 θ = tan⁻¹(y/x) = tan⁻¹(7/3) ≈ 66.8° الإحداثيات القطبية لموقع الجسم هي (7.62, 66.8°) تقريبًا؛ أي أن المسافة بين الجسم والرجل الآلي 7.62، وقياس الزاوية بينهما 66.8°. --- SECTION: الربط مع الحياة --- صممت وكالة ناسا رجلًا آليًا وزنه 3400 باوند، وطوله 12 ft، وطول ذراعه 11 ft؛ لأداء بعض المهام في الفضاء الخارجي. تحقق من فهمك --- SECTION: 3 --- 3) صيد الأسماك: يُستعمل جهاز رصد؛ لتحديد موقع وجود الأسماك تحت الماء. افترض أن قاربًا يتجه إلى الشرق، وأن جهاز الرصد قد رصد سربًا من الأسماك عند النقطة (125, 6°). A. ما الإحداثيات الديكارتية لموقع سرب الأسماك؟ B. إذا كان موقع سرب الأسماك قد رُصد سابقًا عند النقطة التي إحداثياتها (6, -2)، فما الإحداثيات القطبية لموقع السرب؟ --- SECTION: المعادلات القطبية والديكارتية --- قد تحتاج في دراستك المستقبلية إلى تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية والعكس؛ وذلك لتسهيل بعض الحسابات. فبعض المعادلات الديكارتية المعقدة صورتها القطبية أسهل كثيرًا. لاحظ معادلة الدائرة على الصورة الديكارتية والقطبية كما في الشكل أدناه. المعادلة على الصورة الديكارتية: x² + y² = 9 المعادلة على الصورة القطبية: r = 3 وبشكل مماثل فإن بعض المعادلات القطبية المعقدة صورتها الديكارتية أسهل كثيرًا، فالمعادلة القطبية r = 6 / (2 cos θ - 3 sin θ) صورتها الديكارتية هي 2x - 3y = 6 62 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لرجل آلي سداسي الأرجل يتحرك على سطح صخري يشبه سطح المريخ. **GRAPH**: تمثيل بياني للدائرة x² + y² = 9 أو r = 3 Description: دائرة زرقاء اللون مرسومة على شبكة إحداثيات. نصف قطر الدائرة هو 3 وحدات. تظهر تسميات الزوايا القطبية عند محاور الإحداثيات: 0 عند الجزء الموجب لمحور x، π/2 عند الجزء الموجب لمحور y، π عند الجزء السالب لمحور x، و 3π/2 عند الجزء السالب لمحور y. X-axis: x Y-axis: y Context: يوضح الرسم العلاقة بين المعادلة الديكارتية للدائرة والمعادلة القطبية البسيطة لنفس الدائرة.

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 3A: 3) صيد الأسماك: يُستعمل جهاز رصد؛ لتحديد موقع وجود الأسماك تحت الماء. افترض أن قارباً يتجه إلى الشرق، وأن جهاز الرصد قد رصد سرباً من الأسماك عند النقطة (125, 6°). A) ما الإحداثيات الديكارتية لموقع سرب الأسماك؟

الإجابة: (x, y) = (6 cos 125°, 6 sin 125°) ≈ (-3.44, 4.91)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لنحدد ما لدينا من الإحداثيات القطبية المعطاة للنقطة $(r, heta)$: - المسافة (نصف القطر): $r = 6$ - الزاوية: $\theta = 125^\circ$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$، نستخدم القوانين التالية: $$x = r \cos \theta$$ $$y = r \sin \theta$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن قيم $r$ و $\theta$: $$x = 6 \cos 125^\circ \approx 6 \times (-0.5736) \approx -3.44$$ $$y = 6 \sin 125^\circ \approx 6 \times (0.8192) \approx 4.91$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإحداثيات الديكارتية لموقع سرب الأسماك هي تقريباً: **$(-3.44, 4.91)$**

سؤال 3B: 3) صيد الأسماك: يُستعمل جهاز رصد؛ لتحديد موقع وجود الأسماك تحت الماء. افترض أن قارباً يتجه إلى الشرق، وأن جهاز الرصد قد رصد سرباً من الأسماك عند النقطة (125, 6°). B) إذا كان موقع سرب الأسماك قد رُصد سابقاً عند النقطة التي إحداثياتها (6, -2)، فما الإحداثيات القطبية لموقع السرب؟

الإجابة: r = √((-2)² + 6²) = √40 = 2√10 ≈ 6.32 θ ≈ 108.4° إذا الإحداثيات القطبية (6.32, 108.4°)

خطوات الحل:

  1. **الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$: - القيمة الأولى: $x = -2$ - القيمة الثانية: $y = 6$
  2. **الخطوة 2 (القانون):** للتحويل إلى الإحداثيات القطبية $(r, heta)$، نستخدم القوانين: 1. لإيجاد $r$: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ 2. لإيجاد $\theta$: بما أن $x < 0$، نستخدم الصيغة: $$\theta = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) + 180^\circ$$
  3. **الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نحسب قيمة $r$: $$r = \sqrt{(-2)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$$ ثانياً، نحسب قيمة $\theta$: $$\theta = \tan^{-1}(\frac{6}{-2}) + 180^\circ = \tan^{-1}(-3) + 180^\circ \approx -71.6^\circ + 180^\circ = 108.4^\circ$$
  4. **الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الإحداثيات القطبية لموقع السرب هي تقريباً: **$(6.32, 108.4^\circ)$**