مثال 4

📚 معلومات الصفحة

الكتاب: كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 | المادة: الرياضيات | المرحلة: الصف 12 | الفصل الدراسي: 2

الدولة: المملكة العربية السعودية | المنهج: المنهج السعودي - وزارة التعليم

📋 المحتوى المنظم

📖 محتوى تعليمي مفصّل

نوع: محتوى تعليمي

إن عملية تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية عملية مباشرة؛ إذ نعوض عن x بـ r cos θ، وعن y بـ r sin θ ، ثم نبسط المعادلة الناتجة باستعمال الطرق الجبرية والمتطابقات المثلثية.

نوع: محتوى تعليمي

مثال 4: تحويل المعادلات الديكارتية إلى المعادلات القطبية

نوع: محتوى تعليمي

اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:
(x - 4)² + y² = 16 (a
لإيجاد الصورة القطبية للمعادلة، عوض عن x بـ r cos θ وعن y بـ r sin θ. ثم بسط المعادلة.
(x - 4)² + y² = 16 ... المعادلة الأصلية
(r cos θ - 4)² + (r sin θ)² = 16 ... x = r cos θ, y = r sin θ
r² cos² θ - 8r cos θ + 16 + r² sin² θ = 16 ... اضرب
r² cos² θ - 8r cos θ + r² sin² θ = 0 ... اطرح 16 من الطرفين
r² cos² θ + r² sin² θ = 8r cos θ ... ضع الحدود المربعة في طرف واحد
r² (cos² θ + sin² θ) = 8r cos θ ... حلّل
r² (1) = 8r cos θ ... متطابقة فيثاغورس
r = 8 cos θ ... اقسم الطرفين على r حيث r ≠ 0

y = x² (b
y = x² ... المعادلة الأصلية
r sin θ = (r cos θ)² ... x = r cos θ, y = r sin θ
r sin θ = r² cos² θ ... اضرب
(sin θ / cos² θ) = r ... اقسم الطرفين على r cos² θ
(sin θ / cos θ) . (1 / cos θ) = r ... (sin θ / cos² θ) = (sin θ / cos θ) . (1 / cos θ)
tan θ sec θ = r ... المتطابقات النسبية ومتطابقات المقلوب

إرشادات للدراسة

نوع: محتوى تعليمي

المتطابقات المثلثية
من المفيد أن تراجع المتطابقات المثلثية التي تعلمتها سابقاً؛ لمساعدتك على تبسيط الصورة القطبية للمعادلات الديكارتية.

تحقق من فهمك

نوع: QUESTION_HOMEWORK

تحقق من فهمك
اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

نوع: محتوى تعليمي

عملية تحويل المعادلة القطبية إلى معادلة ديكارتية ليست مباشرة مثل عملية التحويل من المعادلة الديكارتية إلى المعادلة القطبية، ففي التحويل الثاني تلزمنا جميع العلاقات الآتية:
r² = x² + y² , tan θ = y/x , x = r cos θ , y = r sin θ

نوع: METADATA

وزارة التعليم Ministry of Education
2023 - 1445
الدرس 2-6 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات 63

📄 النص الكامل للصفحة

إن عملية تحويل المعادلة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية عملية مباشرة؛ إذ نعوض عن x بـ r cos θ، وعن y بـ r sin θ ، ثم نبسط المعادلة الناتجة باستعمال الطرق الجبرية والمتطابقات المثلثية.

مثال 4: تحويل المعادلات الديكارتية إلى المعادلات القطبية

--- SECTION: مثال 4 ---
اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:
(x - 4)² + y² = 16 (a
لإيجاد الصورة القطبية للمعادلة، عوض عن x بـ r cos θ وعن y بـ r sin θ. ثم بسط المعادلة.
(x - 4)² + y² = 16 ... المعادلة الأصلية
(r cos θ - 4)² + (r sin θ)² = 16 ... x = r cos θ, y = r sin θ
r² cos² θ - 8r cos θ + 16 + r² sin² θ = 16 ... اضرب
r² cos² θ - 8r cos θ + r² sin² θ = 0 ... اطرح 16 من الطرفين
r² cos² θ + r² sin² θ = 8r cos θ ... ضع الحدود المربعة في طرف واحد
r² (cos² θ + sin² θ) = 8r cos θ ... حلّل
r² (1) = 8r cos θ ... متطابقة فيثاغورس
r = 8 cos θ ... اقسم الطرفين على r حيث r ≠ 0

y = x² (b
y = x² ... المعادلة الأصلية
r sin θ = (r cos θ)² ... x = r cos θ, y = r sin θ
r sin θ = r² cos² θ ... اضرب
(sin θ / cos² θ) = r ... اقسم الطرفين على r cos² θ
(sin θ / cos θ) . (1 / cos θ) = r ... (sin θ / cos² θ) = (sin θ / cos θ) . (1 / cos θ)
tan θ sec θ = r ... المتطابقات النسبية ومتطابقات المقلوب

--- SECTION: إرشادات للدراسة ---
المتطابقات المثلثية
من المفيد أن تراجع المتطابقات المثلثية التي تعلمتها سابقاً؛ لمساعدتك على تبسيط الصورة القطبية للمعادلات الديكارتية.

--- SECTION: تحقق من فهمك ---
تحقق من فهمك
اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:
4A. x² + (y - 3)² = 9
4B. x² - y² = 1

عملية تحويل المعادلة القطبية إلى معادلة ديكارتية ليست مباشرة مثل عملية التحويل من المعادلة الديكارتية إلى المعادلة القطبية، ففي التحويل الثاني تلزمنا جميع العلاقات الآتية:
r² = x² + y² , tan θ = y/x , x = r cos θ , y = r sin θ

وزارة التعليم Ministry of Education
2023 - 1445
الدرس 2-6 الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات 63

✅ حلول أسئلة الكتاب الرسمية

عدد الأسئلة: 2

سؤال 4A: تحقق من فهمك اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: $x^2 + (y - 3)^2 = 9$

الإجابة: $r = 6 \sin \theta$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** المطلوب هو تحويل المعادلة من الإحداثيات الديكارتية $(x, y)$ إلى الإحداثيات القطبية $(r, heta)$. المعادلة المعطاة هي: $$x^2 + (y - 3)^2 = 9$$
**الخطوة 2 (القانون):** نستخدم علاقات التحويل الأساسية: - $x^2 + y^2 = r^2$ - $y = r \sin \theta$
**الخطوة 3 (الحل):** أولاً، نقوم بفك القوس المربع في المعادلة: $$x^2 + (y^2 - 6y + 9) = 9$$ بتبسيط المعادلة وطرح 9 من الطرفين: $$x^2 + y^2 - 6y = 0$$ الآن، نعوض عن $x^2 + y^2$ بـ $r^2$ وعن $y$ بـ $r \sin \theta$: $$r^2 - 6(r \sin \theta) = 0$$ $$r^2 = 6r \sin \theta$$ بقسمة الطرفين على $r$ (بفرض $r \neq 0$): $$r = 6 \sin \theta$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الصورة القطبية للمعادلة هي: **$r = 6 \sin \theta$**

سؤال 4B: تحقق من فهمك اكتب كل معادلة مما يأتي على الصورة القطبية: $x^2 - y^2 = 1$

الإجابة: $r^2 \cos 2\theta = 1$

خطوات الحل:

**الخطوة 1 (المعطيات):** لدينا المعادلة الديكارتية: $$x^2 - y^2 = 1$$ ونريد التعبير عنها بدلالة $r$ و $\theta$.
**الخطوة 2 (القانون):** نعلم أن: - $x = r \cos \theta$ - $y = r \sin \theta$ - متطابقة ضعف الزاوية: $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
**الخطوة 3 (الحل):** بالتعويض عن $x$ و $y$ في المعادلة الأصلية: $$(r \cos \theta)^2 - (r \sin \theta)^2 = 1$$ $$r^2 \cos^2 \theta - r^2 \sin^2 \theta = 1$$ بأخذ $r^2$ كعامل مشترك: $$r^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 1$$ باستخدام متطابقة ضعف الزاوية لجيب التمام: $$r^2 \cos 2\theta = 1$$
**الخطوة 4 (النتيجة):** إذن الصورة القطبية للمعادلة هي: **$r^2 \cos 2\theta = 1$**