صفحة 66 - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

جولف: في أحد ملاعب الجولف، يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية، كما في الشكل أدناه. أوجد مساحة المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمثل القطب لكلتا المعادلتين، وأن المسافات تُقاس بوحدة الياردة.

عجلة دوّارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دوّارة (0, 0)، وأعلى نقطة فيها (0, 20).

تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية.

مسائل مهارات التفكير العليا

اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r = sin θ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4، في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة r = 2a cos θ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها.

اكتب: اكتب تخمينًا يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحًا.

برهان: استعمل x = r cos θ, y = r sin θ؛ لإثبات أن r = x sec θ, r = y csc θ، حيث sin θ ≠ 0, cos θ ≠ 0.

تحدٍّ: اكتب المعادلة: r^2(4 cos^2 θ + 3 sin^2 θ) + r(-8a cos θ + 6b sin θ) = 12 - 4a^2 - 3b^2 على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r^2, r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعًا مخروطيًا).

مراجعة تراكمية

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. (مهارة سابقة)

A(-2, 45°)

D(1, 315°)

C(-1.5, -4π/3)

أوجد الزاوية بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة)

u = <6, -4>, v = <-5, -7>

u = <2, 3>, v = <-9, 6>

66 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447

--- SECTION: 55 --- جولف: في أحد ملاعب الجولف، يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية، كما في الشكل أدناه. أوجد مساحة المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمثل القطب لكلتا المعادلتين، وأن المسافات تُقاس بوحدة الياردة. --- SECTION: 56 --- عجلة دوّارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دوّارة (0, 0)، وأعلى نقطة فيها (0, 20). a. فاكتب معادلة العجلة الدوّارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية. b. اكتب المعادلة في الفرع a بالصيغة القطبية. --- SECTION: 57 --- تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية. a. بيانيًا: يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (a, b). مثّل العدد المركب 8i + 6 في المستوى الديكارتي. b. عدديًا: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع a. c. بيانيًا: عزّز إجابتك في الفرع b بتمثيل الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي. d. بيانيًا: مثّل بيانيًا العدد المركب 3i + 3- في المستوى الديكارتي. e. بيانيًا: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d. ومثّل الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي. f. تحليليًا: أوجد العبارات الجبرية التي تبيّن كيفية كتابة العدد المركب a + bi بالإحداثيات القطبية. مسائل مهارات التفكير العليا --- SECTION: 58 --- اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r = sin θ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو x^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4، في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك. --- SECTION: 59 --- تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة r = 2a cos θ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها. --- SECTION: 60 --- اكتب: اكتب تخمينًا يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحًا. --- SECTION: 61 --- برهان: استعمل x = r cos θ, y = r sin θ؛ لإثبات أن r = x sec θ, r = y csc θ، حيث sin θ ≠ 0, cos θ ≠ 0. --- SECTION: 62 --- تحدٍّ: اكتب المعادلة: r^2(4 cos^2 θ + 3 sin^2 θ) + r(-8a cos θ + 6b sin θ) = 12 - 4a^2 - 3b^2 على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r^2, r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعًا مخروطيًا). مراجعة تراكمية مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي. (مهارة سابقة) --- SECTION: 63 --- A(-2, 45°) --- SECTION: 64 --- D(1, 315°) --- SECTION: 65 --- C(-1.5, -4π/3) أوجد الزاوية بين المتجهين u, v في كل مما يأتي: (مهارة سابقة) --- SECTION: 66 --- u = <6, -4>, v = <-5, -7> --- SECTION: 67 --- u = <2, 3>, v = <-9, 6> 66 الفصل 6 الإحداثيات القطبية والأعداد المركبة وزارة التعليم Ministry of Education 2025 - 1447 --- VISUAL CONTEXT --- **DIAGRAM**: Untitled Description: رسم توضيحي لثقب جولف يقع في مركز دوائر متحدة المركز. الدائرة الداخلية تمثل الثقب (نقطة حمراء)، تحيط بها منطقة خضراء، ثم منطقة رملية (بيج). تظهر معادلتان تصفان الحدود: r = 6 cos θ + 2 sin θ للحد الخارجي للمنطقة الخضراء، و x² + y² - 6x - 2y = 39 للحد الخارجي للمنطقة الرملية. Key Values: r = 6 cos θ + 2 sin θ, x² + y² - 6x - 2y = 39 Context: تطبيق عملي على المعادلات القطبية والديكارتية لحساب المساحات في سياق رياضة الجولف. **IMAGE**: Untitled Description: صورة فوتوغرافية لعجلة دوارة كبيرة (Ferris wheel) في مدينة ملاهي، مرسوم فوقها نظام إحداثيات ديكارتي. تقع نقطة الأصل (0, 0) عند أدنى نقطة في محيط العجلة، بينما تقع أعلى نقطة في محيط العجلة على محور y عند الإحداثيات (0, 20). Context: استخدام صورة واقعية لنمذجة حركة دائرية باستخدام المعادلات الديكارتية والقطبية.