تنبيه! - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

مثال 1 تمثيل الأعداد المركبة وإيجاد قيمها المطلقة

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: z = 4 + 3i (a (a, b) = (4, 3) z = -2 - i (b (a, b) = (-2, -1)

الحل لـ (a): تعريف القيمة المطلقة |z| = √(a² + b²) a = 4, b = 3 |z| = √(4² + 3²) = √25 = 5 القيمة المطلقة للعدد 4 + 3i تساوي 5.

الحل لـ (b): تعريف القيمة المطلقة |z| = √(a² + b²) a = -2, b = -1 |z| = √((-2)² + (-1)²) = √5 ≈ 2.24 القيمة المطلقة للعدد -2 - i تساوي 2.24 تقريبًا.

تحقق من فهمك

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

الصورة القطبية؛ يجب عدم الخلط بين الصورة القطبية للعدد المركب والإحداثيات القطبية للعدد المركب. فالصورة القطبية لعدد مركب هي طريقة أخرى لكتابة العدد المركب. وسوف نناقش الإحداثيات القطبية للعدد المركب لاحقًا في هذا الدرس.

كما كُتبت الإحداثيات الديكارتية (x, y) على صورة إحداثيات قطبية، فإنه يمكن كتابة الإحداثيات الديكارتية (a, b) التي تمثّل عددًا مركبًا في المستوى المركب على الصورة القطبية. وتُطبّق الدوال المثلثية نفسها التي استُعملت في إيجاد قيم x, y لإيجاد قيم a, b. cos θ = a/r => r cos θ = a sin θ = b/r => r sin θ = b وبتعويض التمثيلات القطبية لكل من a, b، يمكننا إيجاد الصورة القطبية أو الصورة المثلثية لعدد مركب. z = a + bi = r cos θ + (r sin θ)i = r(cos θ + i sin θ)

السعة: كما في الإحداثيات القطبية، فإن θ ليست وحيدة، مع أنها تُعطى عادة في الفترة -2π < θ < 2π.

الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب z = a + bi هي: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| = √(a² + b²)، a = r cos θ، b = r sin θ θ = Tan⁻¹(b/a) عندما a > 0 θ = Tan⁻¹(b/a) + π عندما a < 0 أما إذا كانت a = 0، فإن θ = π/2 إذا كانت b > 0، و θ = -π/2 إذا كانت b < 0.

مثال 1 تمثيل الأعداد المركبة وإيجاد قيمها المطلقة مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: z = 4 + 3i (a (a, b) = (4, 3) z = -2 - i (b (a, b) = (-2, -1) a. z = 4 + 3i b. z = -2 - i الحل لـ (a): تعريف القيمة المطلقة |z| = √(a² + b²) a = 4, b = 3 |z| = √(4² + 3²) = √25 = 5 القيمة المطلقة للعدد 4 + 3i تساوي 5. الحل لـ (b): تعريف القيمة المطلقة |z| = √(a² + b²) a = -2, b = -1 |z| = √((-2)² + (-1)²) = √5 ≈ 2.24 القيمة المطلقة للعدد -2 - i تساوي 2.24 تقريبًا. تحقق من فهمك مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة: 1A. 5 + 2i 1B. -3 + 4i --- SECTION: تنبيه! --- الصورة القطبية؛ يجب عدم الخلط بين الصورة القطبية للعدد المركب والإحداثيات القطبية للعدد المركب. فالصورة القطبية لعدد مركب هي طريقة أخرى لكتابة العدد المركب. وسوف نناقش الإحداثيات القطبية للعدد المركب لاحقًا في هذا الدرس. كما كُتبت الإحداثيات الديكارتية (x, y) على صورة إحداثيات قطبية، فإنه يمكن كتابة الإحداثيات الديكارتية (a, b) التي تمثّل عددًا مركبًا في المستوى المركب على الصورة القطبية. وتُطبّق الدوال المثلثية نفسها التي استُعملت في إيجاد قيم x, y لإيجاد قيم a, b. cos θ = a/r => r cos θ = a sin θ = b/r => r sin θ = b وبتعويض التمثيلات القطبية لكل من a, b، يمكننا إيجاد الصورة القطبية أو الصورة المثلثية لعدد مركب. z = a + bi = r cos θ + (r sin θ)i = r(cos θ + i sin θ) --- SECTION: إرشادات للدراسة --- السعة: كما في الإحداثيات القطبية، فإن θ ليست وحيدة، مع أنها تُعطى عادة في الفترة -2π < θ < 2π. --- SECTION: مفهوم أساسي الصورة القطبية لعدد مركب --- الصورة القطبية أو المثلثية للعدد المركب z = a + bi هي: z = r(cos θ + i sin θ) حيث r = |z| = √(a² + b²)، a = r cos θ، b = r sin θ θ = Tan⁻¹(b/a) عندما a > 0 θ = Tan⁻¹(b/a) + π عندما a < 0 أما إذا كانت a = 0، فإن θ = π/2 إذا كانت b > 0، و θ = -π/2 إذا كانت b < 0. --- VISUAL CONTEXT --- **GRAPH**: Untitled Description: A graph showing the complex number z = 4 + 3i plotted in the complex plane. A dashed red line segment connects the origin (0, 0) to the point (4, 3). X-axis: R (Real) Y-axis: i (Imaginary) **GRAPH**: Untitled Description: A graph showing the complex number z = -2 - i plotted in the complex plane at the point (-2, -1). X-axis: R (Real) Y-axis: i (Imaginary) **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram showing a point (a, b) in the complex plane. A vector of length r makes an angle θ with the positive real axis R. The horizontal component is a and the vertical component is b, forming a right triangle. X-axis: R Y-axis: i Key Values: r, θ, a, b, (a, b) **DIAGRAM**: Untitled Description: A diagram identical in structure to index 2, illustrating the relationship between Cartesian coordinates (a, b) and polar coordinates (r, θ) for a complex number z = a + bi. X-axis: R Y-axis: i Key Values: r, θ, a, b, (a, b)