فيما سبق - كتاب الرياضيات - الصف 12 - الفصل 2 - المملكة العربية السعودية

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa

6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر Complex Numbers and De Moivre's Theorem

درست إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة. (مهارة سابقة)

• أحوّل الأعداد المركبة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية وبالعكس. • أجد حاصل ضرب الأعداد المركبة وقسمتها، وأجد جذورها وقواها في الصورة القطبية.

المستوى المركب complex plane المحور الحقيقي real axis المحور التخيلي imaginary axis القيمة المطلقة لعدد مركب absolute value of a complex number الصورة القطبية polar form الصورة المثلثية trigonometric form المقياس modulus السعة argument الجذور النونية للواحد الصحيح nth roots of unity

يستعمل مهندسو الكهرباء الأعداد المركبة لوصف بعض العلاقات في الكهرباء. فالكميات: فرق الجهد V، والمعاوقة Z، وشدة التيار I ترتبط بالعلاقة V = I · Z، التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد مركب على الصورة a + bj، حيث j العدد التخيلي (ويستعمل المهندسون j حتى لا يختلط الرمز مع رمز شدة التيار I). (إرشاد: استعملت كلمة المعاوقة بدلاً من كلمة المقاومة؛ لأن مجموعة الأعداد المستخدمة هنا هي مجموعة الأعداد المركبة، حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموعة الأعداد الحقيقية).

الجزء الحقيقي للعدد المركب المُعطى على الصورة الديكارتية a + bi هو a والجزء التخيلي bi. ويمكنك تمثيل العدد المركب على المستوى المركب بالنقطة (a, b). كما هو الحال في المستوى الإحداثي، فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب، ويُعيّن الجزء الحقيقي على محور أفقي يُسمّى المحور الحقيقي ويرمز له بالرمز R، في حين يُعيّن الجزء التخيلي على محور رأسي يُسمّى المحور التخيلي ويرمز له بالرمز i. في العدد المركب a + 0i (لاحظ أن b = 0)، يكون الناتج عدداً حقيقياً يمكن تمثيله على خط الأعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما b ≠ 0، فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. تذكّر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط الأعداد، وبالأمثال، فإن القيمة المطلقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب، فإنه بالإمكان حساب بُعده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس.

القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi هي: |z| = |a + bi| = √(a² + b²)

رابط الدرس الرقمي www.ien.edu.sa 6-3 الأعداد المركبة ونظرية ديموافر Complex Numbers and De Moivre's Theorem --- SECTION: فيما سبق --- درست إجراء العمليات الحسابية على الأعداد المركبة. (مهارة سابقة) --- SECTION: والآن --- • أحوّل الأعداد المركبة من الصورة الديكارتية إلى الصورة القطبية وبالعكس. • أجد حاصل ضرب الأعداد المركبة وقسمتها، وأجد جذورها وقواها في الصورة القطبية. --- SECTION: المفردات --- المستوى المركب complex plane المحور الحقيقي real axis المحور التخيلي imaginary axis القيمة المطلقة لعدد مركب absolute value of a complex number الصورة القطبية polar form الصورة المثلثية trigonometric form المقياس modulus السعة argument الجذور النونية للواحد الصحيح nth roots of unity --- SECTION: لماذا؟ --- يستعمل مهندسو الكهرباء الأعداد المركبة لوصف بعض العلاقات في الكهرباء. فالكميات: فرق الجهد V، والمعاوقة Z، وشدة التيار I ترتبط بالعلاقة V = I · Z، التي تستعمل لوصف تيار متردد. ويمكن كتابة كل متغير على صورة عدد مركب على الصورة a + bj، حيث j العدد التخيلي (ويستعمل المهندسون j حتى لا يختلط الرمز مع رمز شدة التيار I). (إرشاد: استعملت كلمة المعاوقة بدلاً من كلمة المقاومة؛ لأن مجموعة الأعداد المستخدمة هنا هي مجموعة الأعداد المركبة، حيث تستعمل كلمة المقاومة في مجموعة الأعداد الحقيقية). --- SECTION: الصورة القطبية للأعداد المركبة --- الجزء الحقيقي للعدد المركب المُعطى على الصورة الديكارتية a + bi هو a والجزء التخيلي bi. ويمكنك تمثيل العدد المركب على المستوى المركب بالنقطة (a, b). كما هو الحال في المستوى الإحداثي، فإننا نحتاج إلى محورين لتمثيل العدد المركب، ويُعيّن الجزء الحقيقي على محور أفقي يُسمّى المحور الحقيقي ويرمز له بالرمز R، في حين يُعيّن الجزء التخيلي على محور رأسي يُسمّى المحور التخيلي ويرمز له بالرمز i. في العدد المركب a + 0i (لاحظ أن b = 0)، يكون الناتج عدداً حقيقياً يمكن تمثيله على خط الأعداد أو على المحور الحقيقي. وعندما b ≠ 0، فإننا سنحتاج إلى المحور التخيلي لتمثيل الجزء التخيلي. تذكّر أن القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي المسافة بين ذلك العدد والصفر على خط الأعداد، وبالأمثال، فإن القيمة المطلقة لعدد مركب هي المسافة بين العدد والصفر في المستوى المركب. وعند تمثيل العدد a + bi في المستوى المركب، فإنه بالإمكان حساب بُعده عن الصفر باستعمال نظرية فيثاغورس. --- SECTION: مفهوم أساسي: القيمة المطلقة لعدد مركب --- القيمة المطلقة للعدد المركب z = a + bi هي: |z| = |a + bi| = √(a² + b²) --- VISUAL CONTEXT --- **IMAGE**: Untitled Description: QR code for digital lesson link. **IMAGE**: Untitled Description: Photograph of industrial electrical machinery with a yellow triangular warning sign that reads 'فولت عالي' (High Voltage). **GRAPH**: Untitled Description: A standard complex plane with a horizontal real axis (R) and a vertical imaginary axis (i) intersecting at origin O. X-axis: (R) الحقيقي Y-axis: (i) التخيلي **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing a point on the real axis labeled 'a + 0i'. X-axis: (R) الحقيقي Y-axis: (i) التخيلي **GRAPH**: Untitled Description: Graph showing a point in the first quadrant of the complex plane. A vertical line of length 'b' and a horizontal line of length 'a' meet at the point (a, b), which is labeled 'a + bi'. X-axis: (R) الحقيقي Y-axis: (i) التخيلي **DIAGRAM**: القيمة المطلقة لعدد مركب Description: A diagram within a blue-bordered box illustrating the absolute value of a complex number. It shows a vector from the origin O to a point (a, b) in the complex plane. The horizontal component is 'a', the vertical component is 'b', and the length of the vector is labeled '|z|'. X-axis: R Y-axis: i Key Values: |z| = |a + bi| = √(a² + b²)